Question

¿De cuántas maneras se pueden dividir los enteros del $1$ al $14$ en $7$ pares de modo que, en cada par, el número mayor sea al menos $2$ veces el número menor?

How many ways are there to split the integers $1$ through $14$ into $7$ pairs such that in each pair, the greater number is at least $2$ times the lesser number?

$108$

$120$

$126$

$132$

$144$

Solución:

Los números del $8$ al $14$ no pueden emparejarse entre sí, así que deben emparejarse con los números del $1$ al $7$ . En particular, $7$ debe emparejarse con $14$ , ya que ningún otro número disponible es al menos el doble de $7$ .

Ahora veamos con qué pueden emparejarse los demás números. $8$ y $9$ pueden emparejarse con cualquier número $1-4.$ $10$ y $11$ pueden emparejarse con cualquier número $1-5,$ y $12$ y $13$ pueden emparejarse con cualquier número $1-6.$

$8$ puede emparejarse con $4$ números, pero entonces $9$ solo tiene $3$ opciones, ya que $8$ tomó uno. $10$ tiene entonces $3$ opciones, pues $2$ opciones ya están tomadas, pero tiene una más para elegir $(5).$ $11$ tiene entonces $2$ opciones, $12$ tiene $2$ opciones, y $13$ solo tiene $1.$

Multiplicando todo esto se obtiene $4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 144.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The numbers from $8$ through $14$ cannot be paired with one another, so they must be paired with the numbers from $1$ through $7$ . In particular, $7$ must be paired with $14$ , since no other available number is at least twice $7$ .

Now let's look at what the other numbers can pair with. $8$ and $9$ can pair with any number $1-4.$ $10$ and $11$ can pair with any number $1-5,$ and $12$ and $13$ can pair with any number $1-6.$

$8$ can pair with $4$ numbers, but then $9$ only has $3$ options since $8$ took one. $10$ then has $3$ options, since $2$ choices are taken, but it has one more to choose from $(5).$ $11$ then has $2$ options, $12$ has $2$ options, and $13$ only has $1.$

Multiplying these together yields $4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 144.$

Thus, E is the correct answer.

2022 AMC 10A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años