Question

La señora Walter aplicó un examen en una clase de matemáticas de cinco estudiantes. Ingresó las calificaciones en orden aleatorio en una hoja de cálculo, que recalculaba el promedio de la clase después de ingresar cada calificación. La señora Walter notó que, después de ingresar cada calificación, el promedio siempre era un entero. Las calificaciones (en orden ascendente) eran $71, 76, 80, 82,$ y $91.$ ¿Cuál fue la última calificación que ingresó la señora Walter?

Mrs. Walter gave an exam in a mathematics class of five students. She entered the scores in random order into a spreadsheet, which recalculated the class average after each score was entered. Mrs. Walter noticed that after each score was entered, the average was always an integer. The scores (listed in ascending order) were $71, 76, 80, 82,$ and $91.$ What was the last score Mrs. Walter entered?

$71$

$76$

$80$

$82$

$91$

Solución:

Los residuos de $71, 76, 80, 82, 91$ módulo $3$ son $2, 1, 2, 1, 1.$ La suma de las primeras tres calificaciones debe ser divisible por $3,$ y el único triple así es $76 + 82 + 91 = 249,$ por lo que la tercera calificación ingresada es $91$ y las dos primeras son $76$ y $82.$

Como $249$ es uno más que un múltiplo de $4,$ la cuarta calificación debe ser tres más que un múltiplo de $4,$ lo cual solo cumple $71$ . Eso deja $80$ como la quinta y última calificación.

En efecto, $76, 158, 249, 320, 400$ son divisibles por $1, 2, 3, 4, 5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The residues of $71, 76, 80, 82, 91$ modulo $3$ are $2, 1, 2, 1, 1.$ The sum of the first three scores must be divisible by $3,$ and the only such triple is $76 + 82 + 91 = 249,$ so the third score entered is $91$ and the first two are $76$ and $82.$

Since $249$ is one more than a multiple of $4,$ the fourth score must be three more than a multiple of $4,$ which only $71$ satisfies. That leaves $80$ as the fifth and last score.

Indeed $76, 158, 249, 320, 400$ are divisible by $1, 2, 3, 4, 5.$

Thus, the correct answer is C.

2000 AMC 10 Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años