Question

Dado que

3^8 \cdot 5^2 = a^b,

donde tanto

a

como

b

son enteros positivos, halla el menor valor posible de

a+b.

Given that

3^8 \cdot 5^2 = a^b,

where both

a

and

b

are positive integers, find the smallest possible value for

a+b.

25

34

351

407

900

Respuesta: D

Conceptos:factorización en primos potencia perfecta optimización

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Como

5^2

divide al número pero

5^3

no,

b

puede ser a lo sumo

2

.

Since

5^2

but not

5^3

divides the number,

b

can be at most

2

Pista grande:

Cuanto mayor es

b,

menor es

a

; prueba

b=2

y escribe el número como un cuadrado perfecto.

The larger

b

is, the smaller

a

becomes; try

b=2

and write the number as a perfect square

Solución:

Como

a

debe ser divisible por

5,

y

3^8 \cdot 5^2

es divisible por

5^2

pero no por

5^3,

necesitamos

b\le 2.

Tomando

b=2

se obtiene

a=\sqrt{3^8 \cdot 5^2}=3^4 \cdot 5=405,

así que

a+b=407.

Este valor es menor que el obtenido con

b=1,

que da

a+b=164{,}026.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because

a

must be divisible by

5,

and

3^8 \cdot 5^2

is divisible by

5^2

but not

5^3,

we need

b\le 2.

Taking

b=2

gives

a=\sqrt{3^8 \cdot 5^2}=3^4 \cdot 5=405,

so

a+b=407.

This beats

b=1,

which gives

a+b=164{,}026.

Thus, the correct answer is D.

2003 AMC 10B Problema 14

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años