Question

Dado que $3^8 \cdot 5^2 = a^b,$ donde tanto $a$ como $b$ son enteros positivos, halla el menor valor posible de $a+b.$

Given that $3^8 \cdot 5^2 = a^b,$ where both $a$ and $b$ are positive integers, find the smallest possible value for $a+b.$

$25$

$34$

$351$

$407$

$900$

Como $a$ debe ser divisible por $5,$ y $3^8 \cdot 5^2$ es divisible por $5^2$ pero no por $5^3,$ necesitamos $b\le 2.$

Tomando $b=2$ se obtiene $a=\sqrt{3^8 \cdot 5^2}=3^4 \cdot 5=405,$ así que $a+b=407.$ Esto supera a $b=1,$ que da $a+b=164{,}026.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because $a$ must be divisible by $5,$ and $3^8 \cdot 5^2$ is divisible by $5^2$ but not $5^3,$ we need $b\le 2.$

Taking $b=2$ gives $a=\sqrt{3^8 \cdot 5^2}=3^4 \cdot 5=405,$ so $a+b=407.$ This beats $b=1,$ which gives $a+b=164{,}026.$

Thus, the correct answer is D.