Soluciones del 2003 AMC 10B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál de las siguientes opciones es igual a

$\dfrac{2-4+6-8+10-12+14}{3-6+9-12+15-18+21}$ ?

Which of the following is the same as

$\dfrac{2-4+6-8+10-12+14}{3-6+9-12+15-18+21}?$

$-1$

$-\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{2}{3}$

$1$

$\dfrac{14}{3}$

Conceptos:fracción propiedad distributiva

Nivel de dificultad: 660

Solución:

Al factorizar se obtiene $\dfrac{2(1-2+3-4+5-6+7)}{3(1-2+3-4+5-6+7)}.$ Las sumas alternantes idénticas del numerador y del denominador se cancelan, y queda $\dfrac{2}{3}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Factoring gives $\dfrac{2(1-2+3-4+5-6+7)}{3(1-2+3-4+5-6+7)}.$ The identical alternating sums cancel, leaving $\dfrac{2}{3}.$

Thus, the correct answer is C.

2.

Al contrae la enfermedad algebritis y debe tomar una pastilla verde y una pastilla rosa cada día durante dos semanas. Una pastilla verde cuesta $\$1$ más que una pastilla rosa, y las pastillas de Al cuestan en total $\$546$ durante las dos semanas. ¿Cuánto cuesta una pastilla verde?

Al gets the disease algebritis and must take one green pill and one pink pill each day for two weeks. A green pill costs $\$1$ more than a pink pill, and Al's pills cost a total of $\$546$ for the two weeks. How much does one green pill cost?

$\$7$

$\$14$

$\$19$

$\$20$

$\$39$

Conceptos:dinero ecuación lineal

Nivel de dificultad: 830

Solución:

Las pastillas de cada día cuestan $546 \div 14 = 39$ dólares. Si $x$ es el costo de una pastilla verde, entonces la pastilla rosa cuesta $x-1,$ así que $x+(x-1)=39.$ Al resolver se obtiene $x=20$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each day's pills cost $546 \div 14 = 39$ dollars. If $x$ is the cost of a green pill, then the pink pill costs $x-1,$ so $x+(x-1)=39.$ Solving gives $x=20.$

Thus, the correct answer is D.

3.

La suma de $5$ enteros pares consecutivos es $4$ menos que la suma de los primeros $8$ números impares positivos consecutivos. ¿Cuál es el menor de esos enteros pares?

The sum of $5$ consecutive even integers is $4$ less than the sum of the first $8$ consecutive odd counting numbers. What is the smallest of the even integers?

$6$

$8$

$10$

$12$

$14$

Conceptos:sumatoria ecuación lineal

Nivel de dificultad: 880

Solución:

Los primeros $8$ números impares positivos suman $1+3+\cdots+15=64$ .

Si $n$ es el menor entero par, $\begin{gathered} n+(n+2)+(n+4) \\ {}+(n+6)+(n+8) \\ = 5n+20 = 60, \end{gathered}$ así que $n=8$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The first $8$ odd counting numbers sum to $1+3+\cdots+15=64.$

Letting $n$ be the smallest even integer, $\begin{gathered} n+(n+2)+(n+4) \\ {}+(n+6)+(n+8) \\ = 5n+20 = 60, \end{gathered}$ so $n=8.$

Thus, the correct answer is B.

4.

Rose llena cada una de las regiones rectangulares de su cantero rectangular con un tipo distinto de flor. Las longitudes, en pies, de las regiones rectangulares de su cantero son las que se muestran en la figura. En cada región planta una flor por pie cuadrado. Las asters cuestan $\$1$ cada una, las begonias $\$1.50$ cada una, las cannas $\$2$ cada una, las dalias $\$2.50$ cada una y los lirios de Pascua $\$3$ cada uno. ¿Cuál es el menor costo posible, en dólares, para su jardín?

Rose fills each of the rectangular regions of her rectangular flower bed with a different type of flower. The lengths, in feet, of the rectangular regions in her flower bed are as shown in the figure. She plants one flower per square foot in each region. Asters cost $\$1$ each, begonias $\$1.50$ each, cannas $\$2$ each, dahlias $\$2.50$ each, and Easter lilies $\$3$ each. What is the least possible cost, in dollars, for her garden?

$108$

$115$

$132$

$144$

$156$

Conceptos:área optimización emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 1070

Solución:

Las cinco regiones tienen áreas de $4, 6, 15, 20,$ y $21$ pies cuadrados.

El costo se minimiza colocando la flor más cara en la región más pequeña, de modo que el total es $\begin{gathered} (3)(4)+(2.5)(6)+(2)(15) \\ {}+(1.5)(20)+(1)(21) \\ = 108. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The five regions have areas $4, 6, 15, 20,$ and $21$ square feet.

Cost is minimized by placing the most expensive flower in the smallest region, so the total is $\begin{gathered} (3)(4)+(2.5)(6)+(2)(15) \\ {}+(1.5)(20)+(1)(21) \\ = 108. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is A.

5.

Moe usa una cortadora para cortar su césped rectangular de $90$ pies por $150$ pies. La franja que corta tiene $28$ pulgadas de ancho, pero traslapa cada pasada $4$ pulgadas para asegurarse de no dejar césped sin cortar. Camina a una velocidad de $5000$ pies por hora mientras empuja la cortadora. ¿Cuál de las siguientes opciones es la más cercana al número de horas que le tomará a Moe cortar su césped?

Moe uses a mower to cut his rectangular $90$ -foot by $150$ -foot lawn. The swath he cuts is $28$ inches wide, but he overlaps each cut by $4$ inches to make sure that no grass is missed. He walks at the rate of $5000$ feet per hour while pushing the mower. Which of the following is closest to the number of hours it will take Moe to mow his lawn?

$0.75$

$0.8$

$1.35$

$1.5$

$3$

Conceptos:conversión de unidades tasa área

Nivel de dificultad: 1100

Solución:

El césped tiene un área de $90 \cdot 150 = 13{,}500$ pies cuadrados.

Cada pie que Moe camina corta una franja efectiva de $2$ pies de ancho, así que corta $2 \cdot 5000 = 10{,}000$ pies cuadrados por hora. El tiempo necesario es $\dfrac{13{,}500}{10{,}000}=1.35.$ horas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The lawn has area $90 \cdot 150 = 13{,}500$ square feet.

Each foot Moe walks mows an effective strip $2$ feet wide, so he mows $2 \cdot 5000 = 10{,}000$ square feet per hour. The time needed is $\dfrac{13{,}500}{10{,}000}=1.35.$ hours.

Thus, the correct answer is C.

6.

Muchas pantallas de televisión son rectángulos que se miden por la longitud de sus diagonales. La razón entre la longitud horizontal y la altura de una pantalla de televisión estándar es $4 : 3.$ ¿A cuál de las siguientes opciones se aproxima más, en pulgadas, la longitud horizontal de una pantalla de televisión de "27 pulgadas"?

Many television screens are rectangles that are measured by the length of their diagonals. The ratio of the horizontal length to the height in a standard television screen is $4 : 3.$ The horizontal length of a "27-inch" television screen is closest, in inches, to which of the following?

$20$

$20.5$

$21$

$21.5$

$22$

Conceptos:Terna pitagórica razón y proporción

Nivel de dificultad: 1000

Solución:

Como la longitud y la altura están en la razón $4:3,$ la longitud, la altura y la diagonal forman un triángulo rectángulo $4:3:5.$ La diagonal es $27,$ así que la longitud horizontal es $\dfrac{4}{5}(27)=21.6,$ que es la más cercana a $21.5$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since the length and height are in ratio $4:3,$ the length, height, and diagonal form a $4:3:5$ right triangle. The diagonal is $27,$ so the horizontal length is $\dfrac{4}{5}(27)=21.6,$ which is closest to $21.5.$

Thus, the correct answer is D.

7.

El símbolo $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero que no supera a $x.$ Por ejemplo, $\lfloor 3 \rfloor = 3,$ y $\lfloor 9/2 \rfloor = 4.$ Calcula $\begin{gathered} \lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor \\ {}+ \cdots + \lfloor \sqrt{16} \rfloor. \end{gathered}$

The symbolism $\lfloor x \rfloor$ denotes the largest integer not exceeding $x.$ For example, $\lfloor 3 \rfloor = 3,$ and $\lfloor 9/2 \rfloor = 4.$ Compute $\begin{gathered} \lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor \\ {}+ \cdots + \lfloor \sqrt{16} \rfloor. \end{gathered}$

$35$

$38$

$40$

$42$

$136$

Conceptos:funciones piso y techo cuadrado perfecto sumatoria

Nivel de dificultad: 1170

Solución:

El valor es $1$ para $n=1,2,3;$ es $2$ para $n=4,\ldots,8;$ es $3$ para $n=9,\ldots,15;$ y es $4$ para $n=16.$ La suma es $3\cdot 1 + 5\cdot 2 + 7\cdot 3 + 1\cdot 4 = 38.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The value is $1$ for $n=1,2,3;$ it is $2$ for $n=4,\ldots,8;$ it is $3$ for $n=9,\ldots,15;$ and it is $4$ for $n=16.$ The sum is $3\cdot 1 + 5\cdot 2 + 7\cdot 3 + 1\cdot 4 = 38.$

Thus, the correct answer is B.

8.

El segundo y el cuarto términos de una sucesión geométrica son $2$ y $6.$ ¿Cuál de las siguientes opciones es un posible primer término?

The second and fourth terms of a geometric sequence are $2$ and $6.$ Which of the following is a possible first term?

$-\sqrt{3}$

$-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\sqrt{3}$

$3$

Conceptos:sucesión geométrica radical

Nivel de dificultad: 1140

Solución:

Sean los términos $a, ar, ar^2, ar^3,\dots$ con $ar=2$ y $ar^3=6.$ Al dividir se obtiene $r^2=3,$ así que $r=\pm\sqrt3$ .

Entonces $a=\dfrac{2}{r}=\pm\dfrac{2}{\sqrt3}=\pm\dfrac{2\sqrt3}{3}.$ La opción $-\dfrac{2\sqrt3}{3}$ corresponde al caso negativo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the terms be $a, ar, ar^2, ar^3,\dots$ with $ar=2$ and $ar^3=6.$ Dividing gives $r^2=3,$ so $r=\pm\sqrt3.$

Then $a=\dfrac{2}{r}=\pm\dfrac{2}{\sqrt3}=\pm\dfrac{2\sqrt3}{3}.$ The choice $-\dfrac{2\sqrt3}{3}$ matches the negative case.

Thus, the correct answer is B.

9.

Halla el valor de $x$ que satisface la ecuación

$25^{-2} = \dfrac{5^{48/x}}{5^{26/x} \cdot 25^{17/x}}.$

Find the value of $x$ that satisfies the equation

$25^{-2} = \dfrac{5^{48/x}}{5^{26/x} \cdot 25^{17/x}}.$

$2$

$3$

$5$

$6$

$9$

Conceptos:exponente manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1070

Solución:

Al escribir todo en base $5,$ el lado izquierdo es $5^{-4}$ y el lado derecho es $5^{(48-26-34)/x}=5^{-12/x}.$ Igualando los exponentes, $-4=-\dfrac{12}{x},$ así que $x=3$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Writing everything base $5,$ the left side is $5^{-4}$ and the right side is $5^{(48-26-34)/x}=5^{-12/x}.$ Setting exponents equal, $-4=-\dfrac{12}{x},$ so $x=3.$

Thus, the correct answer is B.

10.

Nebraska, sede del AMC, cambió su esquema de matrículas. Cada matrícula antigua constaba de una letra seguida de cuatro dígitos. Cada matrícula nueva consta de tres letras seguidas de tres dígitos. ¿Por cuántas veces se incrementa el número de matrículas posibles?

Nebraska, the home of the AMC, changed its license plate scheme. Each old license plate consisted of a letter followed by four digits. Each new license plate consists of three letters followed by three digits. By how many times is the number of possible license plates increased?

$\dfrac{26}{10}$

$\dfrac{26^2}{10^2}$

$\dfrac{26^2}{10}$

$\dfrac{26^3}{10^3}$

$\dfrac{26^3}{10^2}$

Conceptos:principio de multiplicación razón y proporción

Nivel de dificultad: 1170

Solución:

El esquema antiguo permite $26 \cdot 10^4$ matrículas y el nuevo esquema permite $26^3 \cdot 10^3$ matrículas. El factor de aumento es $\dfrac{26^3 \cdot 10^3}{26 \cdot 10^4}=\dfrac{26^2}{10}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The old scheme allows $26 \cdot 10^4$ plates and the new scheme allows $26^3 \cdot 10^3$ plates. The increase factor is $\dfrac{26^3 \cdot 10^3}{26 \cdot 10^4}=\dfrac{26^2}{10}.$

Thus, the correct answer is C.

11.

Una recta con pendiente $3$ interseca a una recta con pendiente $5$ en el punto $(10, 15).$ ¿Cuál es la distancia entre las intersecciones con el eje $x$ de estas dos rectas?

A line with slope $3$ intersects a line with slope $5$ at the point $(10, 15).$ What is the distance between the $x$ -intercepts of these two lines?

$2$

$5$

$7$

$12$

$20$

Conceptos:geometría analítica pendiente ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1240

Solución:

Las rectas son $y-15=3(x-10)$ y $y-15=5(x-10)$ .

Al hacer $y=0$ se obtienen las intersecciones con el eje $x$ : $x=5$ y $x=7.$ La distancia entre $(5,0)$ y $(7,0)$ es $2$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The lines are $y-15=3(x-10)$ and $y-15=5(x-10).$

Setting $y=0$ gives $x$ -intercepts $x=5$ and $x=7.$ The distance between $(5,0)$ and $(7,0)$ is $2.$

Thus, the correct answer is A.

12.

Al, Betty y Clare se reparten $\$1000$ entre ellos para invertirlos de distintas maneras. Cada uno comienza con una cantidad diferente. Al cabo de un año tienen un total de $\$1500.$ Betty y Clare han duplicado su dinero, mientras que Al ha logrado perder $\$100.$ ¿Cuál fue la porción original de Al?

Al, Betty, and Clare split $\$1000$ among them to be invested in different ways. Each begins with a different amount. At the end of one year they have a total of $\$1500.$ Betty and Clare have both doubled their money, whereas Al has managed to lose $\$100.$ What was Al's original portion?

$\$250$

$\$350$

$\$400$

$\$450$

$\$500$

Conceptos:sistema de ecuaciones dinero

Nivel de dificultad: 1240

Solución:

Sean $a, b, c$ las porciones originales. Entonces $a+b+c=1000$ y $(a-100)+2(b+c)=1500.$

Al sustituir $b+c=1000-a$ en la segunda ecuación, $a-100+2(1000-a)=1500,$ así que $a=400$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $a, b, c$ be the original portions. Then $a+b+c=1000$ and $(a-100)+2(b+c)=1500.$

Substituting $b+c=1000-a$ into the second equation, $a-100+2(1000-a)=1500,$ so $a=400.$

Thus, the correct answer is C.

13.

Sea $\clubsuit(x)$ la suma de los dígitos del entero positivo $x.$ Por ejemplo, $\clubsuit(8)=8$ y $\clubsuit(123)=1+2+3=6.$ ¿Para cuántos valores $x$ de dos dígitos se cumple $\clubsuit(\clubsuit(x))=3$ ?

Let $\clubsuit(x)$ denote the sum of the digits of the positive integer $x.$ For example, $\clubsuit(8)=8$ and $\clubsuit(123)=1+2+3=6.$ For how many two-digit values of $x$ is $\clubsuit(\clubsuit(x))=3?$

$3$

$4$

$6$

$9$

$10$

Conceptos:dígitos análisis por casos enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1310

Solución:

Sea $y=\clubsuit(x).$ Como $x\le 99,$ tenemos $y\le 18,$ así que $\clubsuit(y)=3$ obliga a $y=3$ o $y=12.$

Los números de dos dígitos con suma de dígitos $3$ son $12, 21, 30$ $(3$ de ellos $).$ Los que tienen suma de dígitos $12$ son $39, 48, 57, 66, 75, 84, 93$ $(7$ de ellos $).$ En total hay $10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $y=\clubsuit(x).$ Since $x\le 99,$ we have $y\le 18,$ so $\clubsuit(y)=3$ forces $y=3$ or $y=12.$

The two-digit numbers with digit sum $3$ are $12, 21, 30$ $(3$ of them $).$ Those with digit sum $12$ are $39, 48, 57, 66, 75, 84, 93$ $(7$ of them $).$ In all there are $10.$

Thus, the correct answer is E.

14.

Dado que $3^8 \cdot 5^2 = a^b,$ donde tanto $a$ como $b$ son enteros positivos, halla el menor valor posible de $a+b.$

Given that $3^8 \cdot 5^2 = a^b,$ where both $a$ and $b$ are positive integers, find the smallest possible value for $a+b.$

$25$

$34$

$351$

$407$

$900$

Conceptos:factorización en primos potencia perfecta optimización

Nivel de dificultad: 1390

Solución:

Como $a$ debe ser divisible por $5,$ y $3^8 \cdot 5^2$ es divisible por $5^2$ pero no por $5^3,$ necesitamos $b\le 2.$

Tomando $b=2$ se obtiene $a=\sqrt{3^8 \cdot 5^2}=3^4 \cdot 5=405,$ así que $a+b=407.$ Esto supera a $b=1,$ que da $a+b=164{,}026.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because $a$ must be divisible by $5,$ and $3^8 \cdot 5^2$ is divisible by $5^2$ but not $5^3,$ we need $b\le 2.$

Taking $b=2$ gives $a=\sqrt{3^8 \cdot 5^2}=3^4 \cdot 5=405,$ so $a+b=407.$ This beats $b=1,$ which gives $a+b=164{,}026.$

Thus, the correct answer is D.

15.

Hay $100$ jugadores en un torneo de tenis individual. El torneo es de eliminación simple, lo que significa que un jugador que pierde un partido queda eliminado. En la primera ronda, los $28$ jugadores más fuertes reciben un pase directo, y los $72$ jugadores restantes se emparejan para jugar. Después de cada ronda, los jugadores restantes juegan en la siguiente ronda. La competencia continúa hasta que solo queda un jugador invicto. El número total de partidos jugados es

There are $100$ players in a singles tennis tournament. The tournament is single elimination, meaning that a player who loses a match is eliminated. In the first round, the strongest $28$ players are given a bye, and the remaining $72$ players are paired off to play. After each round, the remaining players play in the next round. The match continues until only one player remains unbeaten. The total number of matches played is

un número primo

a prime number

divisible por $2$

divisible by $2$

divisible por $5$

divisible by $5$

divisible por $7$

divisible by $7$

divisible por $11$

divisible by $11$

Conceptos:conteo básico invariante

Nivel de dificultad: 1280

Solución:

Cada partido elimina exactamente a un jugador. Como comienzan $100$ jugadores y todos menos el campeón son eliminados, hay $99$ partidos.

Como $99=9 \cdot 11,$ es divisible por $11$ pero no cumple ninguna de las otras opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each match eliminates exactly one player. Since $100$ players start and all but the champion are eliminated, there are $99$ matches.

Because $99=9 \cdot 11,$ it is divisible by $11$ but satisfies none of the other options.

Thus, the correct answer is E.

16.

Un restaurante ofrece tres postres y exactamente el doble de entradas que de platos principales. Una cena consta de una entrada, un plato principal y un postre. ¿Cuál es el menor número de platos principales que el restaurante debería ofrecer para que un cliente pudiera tener una cena diferente cada noche del año $2003$ ?

A restaurant offers three desserts, and exactly twice as many appetizers as main courses. A dinner consists of an appetizer, a main course, and a dessert. What is the least number of main courses that the restaurant should offer so that a customer could have a different dinner each night in the year $2003?$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:principio de multiplicación desigualdad

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

Con $m$ platos principales, el número de cenas es $3 \cdot m \cdot 2m = 6m^2.$ Esto debe ser al menos $365.$

Entonces $m^2 \ge \dfrac{365}{6}\approx 60.8.$ Como $7^2=49$ es demasiado pequeño pero $8^2=64$ funciona, $m=8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

With $m$ main courses, the number of dinners is $3 \cdot m \cdot 2m = 6m^2.$ This must be at least $365.$

So $m^2 \ge \dfrac{365}{6}\approx 60.8.$ Since $7^2=49$ is too small but $8^2=64$ works, $m=8.$

Thus, the correct answer is E.

17.

Un cono de helado consta de una esfera de helado de vainilla y un cono circular recto que tiene el mismo diámetro que la esfera. Si el helado se derrite, llenará exactamente el cono. Supón que el helado derretido ocupa el $75\%$ del volumen del helado congelado. ¿Cuál es la razón entre la altura del cono y su radio? (Nota: un cono con radio $r$ y altura $h$ tiene volumen $\pi r^2 h / 3,$ y una esfera con radio $r$ tiene volumen $4\pi r^3 / 3$ .)

An ice cream cone consists of a sphere of vanilla ice cream and a right circular cone that has the same diameter as the sphere. If the ice cream melts, it will exactly fill the cone. Assume that the melted ice cream occupies $75\%$ of the volume of the frozen ice cream. What is the ratio of the cone's height to its radius? (Note: A cone with radius $r$ and height $h$ has volume $\pi r^2 h / 3,$ and a sphere with radius $r$ has volume $4\pi r^3 / 3$ .)

$2 : 1$

$3 : 1$

$4 : 1$

$16 : 3$

$6 : 1$

Conceptos:volumen esfera cono

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

El volumen derretido es igual al volumen del cono, así que $\dfrac34 \cdot \dfrac43 \pi r^3 = \dfrac13 \pi r^2 h.$

Al simplificar se obtiene $\pi r^3 = \dfrac13 \pi r^2 h,$ así que $h=3r.$ La razón entre la altura y el radio es $3:1$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The melted volume equals the cone's volume, so $\dfrac34 \cdot \dfrac43 \pi r^3 = \dfrac13 \pi r^2 h.$

Simplifying gives $\pi r^3 = \dfrac13 \pi r^2 h,$ so $h=3r.$ The ratio of height to radius is $3:1.$

Thus, the correct answer is B.

18.

¿Cuál es el mayor entero que es divisor de

$\begin{aligned} &(n+1)(n+3)(n+5) \\ &\quad {}\cdot (n+7)(n+9) \end{aligned}$

para todos los enteros pares positivos $n$ ?

What is the largest integer that is a divisor of

$\begin{aligned} &(n+1)(n+3)(n+5) \\ &\quad {}\cdot (n+7)(n+9) \end{aligned}$

for all positive even integers $n?$

$3$

$5$

$11$

$15$

$165$

Conceptos:divisibilidad máximo común divisor

Nivel de dificultad: 1480

Solución:

Para $n$ par, los factores son cinco números impares consecutivos. Entre cualesquiera cinco números impares consecutivos, al menos uno es divisible por $3$ y exactamente uno por $5,$ así que el producto siempre es divisible por $15.$

Ningún divisor fijo mayor funciona: $n=2$ da $3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11,$ cuyo máximo común divisor con otros casos como $n=10$ es exactamente $15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For even $n,$ the factors are five consecutive odd numbers. Among any five consecutive odd numbers, at least one is divisible by $3$ and exactly one by $5,$ so the product is always divisible by $15.$

No larger fixed divisor works: $n=2$ gives $3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11,$ whose greatest common divisor with other cases such as $n=10$ is exactly $15.$

Thus, the correct answer is D.

19.

Se construyen tres semicírculos de radio $1$ sobre el diámetro $\overline{AB}$ de un semicírculo de radio $2.$ Los centros de los semicírculos pequeños dividen $\overline{AB}$ en cuatro segmentos de igual longitud, como se muestra. ¿Cuál es el área de la región sombreada que está dentro del semicírculo grande pero fuera de los semicírculos pequeños?

Three semicircles of radius $1$ are constructed on diameter $\overline{AB}$ of a semicircle of radius $2.$ The centers of the small semicircles divide $\overline{AB}$ into four line segments of equal length, as shown. What is the area of the shaded region that lies within the large semicircle but outside the smaller semicircles?

$\pi - \sqrt{3}$

$\pi - \sqrt{2}$

$\dfrac{\pi + \sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{\pi + \sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{7}{6}\pi - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Conceptos:área del círculo sector circular triángulo equilátero descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

El semicírculo grande tiene área $\dfrac12 \pi (2)^2 = 2\pi.$

Al quitar los semicírculos pequeños se elimina una región igual a cinco sectores congruentes de $60^\circ$ y radio $1$ más dos triángulos equiláteros de lado $1.$ Cada sector tiene área $\dfrac{\pi}{6}$ y cada triángulo tiene área $\dfrac{\sqrt3}{4}.$

El área sombreada es $\begin{gathered} 2\pi - 5 \cdot \dfrac{\pi}{6} - 2 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4} \\ = \dfrac{7}{6}\pi - \dfrac{\sqrt3}{2}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The large semicircle has area $\dfrac12 \pi (2)^2 = 2\pi.$

Removing the small semicircles deletes a region equal to five congruent $60^\circ$ sectors of radius $1$ plus two equilateral triangles of side $1.$ Each sector has area $\dfrac{\pi}{6}$ and each triangle has area $\dfrac{\sqrt3}{4}.$

The shaded area is $\begin{gathered} 2\pi - 5 \cdot \dfrac{\pi}{6} - 2 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4} \\ = \dfrac{7}{6}\pi - \dfrac{\sqrt3}{2}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is E.

20.

En el rectángulo $ABCD,$ $AB=5$ y $BC=3.$ Los puntos $F$ y $G$ están sobre $\overline{CD}$ de modo que $DF=1$ y $GC=2.$ Las rectas $AF$ y $BG$ se intersecan en $E.$ Halla el área de $\triangle AEB.$

In rectangle $ABCD,$ $AB=5$ and $BC=3.$ Points $F$ and $G$ are on $\overline{CD}$ so that $DF=1$ and $GC=2.$ Lines $AF$ and $BG$ intersect at $E.$ Find the area of $\triangle AEB.$

$10$

$\dfrac{21}{2}$

$12$

$\dfrac{25}{2}$

$15$

Conceptos:semejanza área del triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 1480

Solución:

Aquí $FG = CD - DF - GC$ $= 5 - 1 - 2$ $= 2.$ Sea $h$ la distancia desde $E$ hasta la recta $CD.$ Como $\triangle FEG \sim \triangle AEB$ con razón $\dfrac{FG}{AB}=\dfrac25,$ tenemos $\dfrac{h}{h+3}=\dfrac25,$ así que $h=2.$

La altura de $\triangle AEB$ desde $E$ hasta $AB$ es $h+3=5,$ lo que da un área de $\dfrac12 \cdot 5 \cdot 5 = \dfrac{25}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Here $FG = CD - DF - GC$ $= 5 - 1 - 2$ $= 2.$ Let $h$ be the distance from $E$ down to line $CD.$ Since $\triangle FEG \sim \triangle AEB$ with ratio $\dfrac{FG}{AB}=\dfrac25,$ we have $\dfrac{h}{h+3}=\dfrac25,$ so $h=2.$

The height of $\triangle AEB$ from $E$ to $AB$ is $h+3=5,$ giving area $\dfrac12 \cdot 5 \cdot 5 = \dfrac{25}{2}.$

Thus, the correct answer is D.

21.

Una bolsa contiene dos cuentas rojas y dos cuentas verdes. Metes la mano en la bolsa y sacas una cuenta, reemplazándola por una cuenta roja sin importar el color que hayas sacado. ¿Cuál es la probabilidad de que todas las cuentas de la bolsa sean rojas después de tres reemplazos de este tipo?

A bag contains two red beads and two green beads. You reach into the bag and pull out a bead, replacing it with a red bead regardless of the color you pulled out. What is the probability that all beads in the bag are red after three such replacements?

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{5}{32}$

$\dfrac{9}{32}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{7}{16}$

Conceptos:probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1600

Solución:

La bolsa siempre contiene $4$ cuentas. Todas son rojas al final precisamente cuando ambas verdes se sacan.

Sacar verde y luego verde tiene probabilidad $\dfrac24 \cdot \dfrac14 = \dfrac18.$ Verde, roja, verde tiene probabilidad $\dfrac24 \cdot \dfrac34 \cdot \dfrac14 = \dfrac{3}{32}.$ Roja, verde, verde tiene probabilidad $\dfrac24 \cdot \dfrac24 \cdot \dfrac14 = \dfrac{1}{16}.$

El total es $\dfrac18 + \dfrac{3}{32} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{9}{32}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The bag always holds $4$ beads. All are red at the end precisely when both greens are drawn.

Drawing green then green has probability $\dfrac24 \cdot \dfrac14 = \dfrac18.$ Green, red, green has probability $\dfrac24 \cdot \dfrac34 \cdot \dfrac14 = \dfrac{3}{32}.$ Red, green, green has probability $\dfrac24 \cdot \dfrac24 \cdot \dfrac14 = \dfrac{1}{16}.$

The total is $\dfrac18 + \dfrac{3}{32} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{9}{32}.$

Thus, the correct answer is C.

22.

Un reloj suena una vez a los $30$ minutos después de cada hora y suena en la hora en punto según la hora. Por ejemplo, a la 1 PM suena una vez y al mediodía y a la medianoche suena doce veces. Comenzando a las 11:15 AM del 26 de febrero de 2003, ¿en qué fecha ocurrirá la campanada número 2003?

A clock chimes once at $30$ minutes past each hour and chimes on the hour according to the hour. For example, at 1 PM there is one chime and at noon and midnight there are twelve chimes. Starting at 11:15 AM on February 26, 2003, on what date will the 2003rd chime occur?

8 de marzo

March 8

9 de marzo

March 9

10 de marzo

March 10

20 de marzo

March 20

21 de marzo

March 21

Conceptos:fecha y hora sumatoria simulación de procesos

Nivel de dificultad: 1690

Solución:

Cada período de $12$ horas tiene $12 + 78 = 90$ campanadas, así que cada día completo tiene $180.$

Después de las 11:15 AM del 26 de febrero, el resto de ese día tiene $91$ campanadas. Sumando $180$ por cada día completo siguiente, el conteo llega a $1891$ al final del 8 de marzo.

Las campanadas restantes caen el 9 de marzo: la campanada número 2003 es la $112$ .ª campanada de ese día, que ocurre a las 3:30 PM del 9 de marzo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each $12$ -hour period has $12 + 78 = 90$ chimes, so each full day has $180.$

After 11:15 AM on February 26, the rest of that day has $91$ chimes. Adding $180$ for each following full day, the count reaches $1891$ by the end of March 8.

The remaining chimes fall on March 9: the 2003rd chime is the $112$ th chime of that day, occurring at 3:30 PM on March 9.

Thus, the correct answer is B.

23.

Un octágono regular $ABCDEFGH$ tiene un área de una unidad cuadrada. ¿Cuál es el área del rectángulo $ABEF$ ?

A regular octagon $ABCDEFGH$ has an area of one square unit. What is the area of the rectangle $ABEF?$

$1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$\sqrt{2} - 1$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1 + \sqrt{2}}{4}$

Conceptos:polígono regular descomposición de áreas simetría

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Sea $O$ el centro. El octágono se divide en $8$ triángulos congruentes desde $O,$ así que $\triangle AOB$ tiene área $\dfrac18.$

Como $O$ es el punto medio de $AE,$ los triángulos $AOB$ y $BOE$ tienen igual área, así que $\triangle ABE$ tiene área $\dfrac14.$ El rectángulo $ABEF$ es el doble de esto, es decir $\dfrac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $O$ be the center. The octagon splits into $8$ congruent triangles from $O,$ so $\triangle AOB$ has area $\dfrac18.$

Since $O$ is the midpoint of $AE,$ triangles $AOB$ and $BOE$ have equal area, so $\triangle ABE$ has area $\dfrac14.$ The rectangle $ABEF$ is twice this, namely $\dfrac12.$

Thus, the correct answer is D.

24.

Los primeros cuatro términos de una sucesión aritmética son $x+y,$ $x-y,$ $xy,$ y $x/y,$ en ese orden. ¿Cuál es el quinto término?

The first four terms in an arithmetic sequence are $x+y,$ $x-y,$ $xy,$ and $x/y,$ in that order. What is the fifth term?

$-\dfrac{15}{8}$

$-\dfrac{6}{5}$

$0$

$\dfrac{27}{20}$

$\dfrac{123}{40}$

Conceptos:sucesión aritmética sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1820

Solución:

La diferencia común es $-2y,$ así que el tercer y el cuarto términos deben ser $x-3y$ y $x-5y.$ Por lo tanto $xy=x-3y$ y $\dfrac{x}{y}=x-5y.$

De $\dfrac{x}{y}=x-5y$ obtenemos $x=xy-5y^2,$ y al sustituir $xy=x-3y$ se obtiene $-3y-5y^2=0.$ Como $y\ne 0,$ $y=-\dfrac35$ y entonces $x=-\dfrac98.$

El quinto término es $x-7y=-\dfrac98 + \dfrac{21}{5}=\dfrac{123}{40}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The common difference is $-2y,$ so the third and fourth terms must be $x-3y$ and $x-5y.$ Thus $xy=x-3y$ and $\dfrac{x}{y}=x-5y.$

From $\dfrac{x}{y}=x-5y$ we get $x=xy-5y^2,$ and substituting $xy=x-3y$ gives $-3y-5y^2=0.$ Since $y\ne 0,$ $y=-\dfrac35$ and then $x=-\dfrac98.$

The fifth term is $x-7y=-\dfrac98 + \dfrac{21}{5}=\dfrac{123}{40}.$

Thus, the correct answer is E.

25.

¿Cuántos números distintos de cuatro dígitos son divisibles por $3$ y tienen $23$ como sus dos últimos dígitos?

How many distinct four-digit numbers are divisible by $3$ and have $23$ as their last two digits?

$27$

$30$

$33$

$81$

$90$

Conceptos:divisibilidad dígitos aritmética modular

Nivel de dificultad: 1400

Solución:

Escribe el número como $\overline{ab23}.$ Es divisible por $3$ cuando $a+b+2+3=a+b+5$ es divisible por $3,$ es decir, cuando $a+b\equiv 1 \pmod 3.$

El prefijo de dos dígitos $\overline{ab}$ recorre los $90$ valores de $10$ a $99,$ y exactamente un tercio de ellos cumple esto, lo que da $\dfrac{90}{3}=30.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Write the number as $\overline{ab23}.$ It is divisible by $3$ when $a+b+2+3=a+b+5$ is divisible by $3,$ that is, when $a+b\equiv 1 \pmod 3.$

The two-digit prefix $\overline{ab}$ ranges over the $90$ values from $10$ to $99,$ and exactly one third of them satisfy this, giving $\dfrac{90}{3}=30.$

Thus, the correct answer is B.