Question

El diagrama de abajo muestra la cara circular de un reloj con radio $20$ cm y un disco circular con radio $10$ cm tangente externamente a la cara del reloj en las $12$ en punto. El disco tiene una flecha pintada que inicialmente apunta verticalmente hacia arriba. Deja que el disco ruede en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de la cara del reloj. ¿En qué punto de la cara del reloj será tangente el disco cuando la flecha vuelva a apuntar verticalmente hacia arriba?

The diagram below shows the circular face of a clock with radius $20$ cm and a circular disk with radius $10$ cm externally tangent to the clock face at $12$ o' clock. The disk has an arrow painted on it, initially pointing in the upward vertical direction. Let the disk roll clockwise around the clock face. At what point on the clock face will the disk be tangent when the arrow is next pointing in the upward vertical direction?

las $2$ en punto

$2$ o' clock

las $3$ en punto

$3$ o' clock

las $4$ en punto

$4$ o' clock

las $6$ en punto

$6$ o' clock

las $8$ en punto

$8$ o' clock

Solución:

El disco de radio $10$ rueda externamente alrededor de la cara del reloj de radio $20$ . Si el punto de tangencia recorre un ángulo central $\theta$ alrededor del reloj, el disco gira $\frac{20+10}{10}\theta=3\theta$ respecto a su dirección original.

La flecha vuelve a apuntar hacia arriba cuando $3\theta$ es un múltiplo positivo de $2\pi$ . La primera vez que esto ocurre es $\theta=\frac{2\pi}{3}$ , que es un tercio del camino alrededor del reloj desde las 12 en punto, es decir, las 4 en punto.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The disk of radius $10$ rolls externally around the clock face of radius $20$ . If the point of tangency moves through central angle $\theta$ around the clock, the disk rotates through $\frac{20+10}{10}\theta=3\theta$ relative to its original direction.

The arrow next points upward when $3\theta$ is a positive multiple of $2\pi$ . The first time this happens is $\theta=\frac{2\pi}{3}$ , which is one-third of the way around the clock from 12 o'clock, namely 4 o'clock.

Thus, C is the correct answer.

2015 AMC 10A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años