Soluciones del 2006 AMC 10B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de $(-1)^1 + (-1)^2 + \cdots + (-1)^{2006}$ ?

What is $(-1)^1 + (-1)^2 + \cdots + (-1)^{2006}?$

$-2006$

$-1$

$0$

$1$

$2006$

Conceptos:exponente emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 720

Solución:

Hay $2006$ términos. Al emparejar términos consecutivos se obtiene $(-1+1)+(-1+1)+\cdots.$ Como $2006$ es par, cada término se empareja y la suma es $0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

There are $2006$ terms. Pairing consecutive terms gives $(-1+1)+(-1+1)+\cdots.$ Since $2006$ is even, every term pairs off and the sum is $0.$

Thus, the correct answer is C.

2.

Para los números reales $x$ y $y,$ se define $x \spadesuit y = (x+y)(x-y).$ ¿Cuál es el valor de $3 \spadesuit (4 \spadesuit 5)$ ?

For real numbers $x$ and $y,$ define $x \spadesuit y = (x+y)(x-y).$ What is $3 \spadesuit (4 \spadesuit 5)?$

$-72$

$-27$

$-24$

$24$

$72$

Conceptos:operación personalizada diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 870

Solución:

Como $x \spadesuit y = (x+y)(x-y) = x^2 - y^2,$ se tiene $4 \spadesuit 5 = 16 - 25 = -9.$

Entonces $3 \spadesuit (-9) = 9 - 81 = -72.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $x \spadesuit y = (x+y)(x-y) = x^2 - y^2,$ we have $4 \spadesuit 5 = 16 - 25 = -9.$

Then $3 \spadesuit (-9) = 9 - 81 = -72.$

Thus, the correct answer is A.

3.

Se jugó un partido de fútbol americano entre dos equipos, los Cougars y los Panthers. Los dos equipos anotaron un total de $34$ puntos, y los Cougars ganaron por un margen de $14$ puntos. ¿Cuántos puntos anotaron los Panthers?

A football game was played between two teams, the Cougars and the Panthers. The two teams scored a total of $34$ points, and the Cougars won by a margin of $14$ points. How many points did the Panthers score?

$10$

$14$

$17$

$20$

$24$

Conceptos:sistema de ecuaciones ecuación lineal

Nivel de dificultad: 830

Solución:

Sean $c$ y $p$ las puntuaciones de los Cougars y los Panthers. Entonces $c+p=34$ y $c-p=14.$ Restando se obtiene $2p=20,$ así que $p=10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $c$ and $p$ be the Cougars' and Panthers' scores. Then $c+p=34$ and $c-p=14.$ Subtracting gives $2p=20,$ so $p=10.$

Thus, the correct answer is A.

4.

Dos círculos de diámetro $1$ pulgada y $3$ pulgadas tienen el mismo centro. El círculo menor se pinta de rojo, y la porción que está fuera del círculo menor y dentro del círculo mayor se pinta de azul. ¿Cuál es la razón entre el área pintada de azul y el área pintada de rojo?

Circles of diameter $1$ inch and $3$ inches have the same center. The smaller circle is painted red, and the portion outside the smaller circle and inside the larger circle is painted blue. What is the ratio of the blue-painted area to the red-painted area?

$2$

$3$

$6$

$8$

$9$

Conceptos:área del círculo razón de áreas

Nivel de dificultad: 940

Solución:

El círculo rojo tiene área $\pi(\tfrac12)^2 = \tfrac{\pi}{4},$ y el círculo grande tiene área $\pi(\tfrac32)^2 = \tfrac{9\pi}{4}.$ El anillo azul es $\tfrac{9\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}=2\pi.$

La razón es $2\pi \div \tfrac{\pi}{4} = 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The red circle has area $\pi(\tfrac12)^2 = \tfrac{\pi}{4},$ and the large circle has area $\pi(\tfrac32)^2 = \tfrac{9\pi}{4}.$ The blue ring is $\tfrac{9\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}=2\pi.$

The ratio is $2\pi \div \tfrac{\pi}{4} = 8.$

Thus, the correct answer is D.

5.

Un rectángulo de $2 \times 3$ y un rectángulo de $3 \times 4$ están contenidos dentro de un cuadrado sin superponerse en ningún punto interior, y los lados del cuadrado son paralelos a los lados de los dos rectángulos dados. ¿Cuál es la menor área posible del cuadrado?

A $2 \times 3$ rectangle and a $3 \times 4$ rectangle are contained within a square without overlapping at any interior point, and the sides of the square are parallel to the sides of the two given rectangles. What is the smallest possible area of the square?

$16$

$25$

$36$

$49$

$64$

Conceptos:cuadrado (geometría)rectángulo optimización

Nivel de dificultad: 1060

Solución:

Coloca los rectángulos uno al lado del otro con sus lados de longitud $3$ en vertical. Sus anchos suman $2+3=5,$ y las alturas $3$ y $4$ caben ambas dentro de $5.$

El lado no puede ser menor que $5,$ ya que las dos dimensiones menores $2$ y $3$ deben quedar acomodadas. La menor área es $5^2=25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place the rectangles side by side with their $3$ -length sides vertical. Their widths add to $2+3=5,$ and the heights $3$ and $4$ both fit within $5.$

The side cannot be smaller than $5,$ since the two smaller dimensions $2$ and $3$ must be accommodated. The smallest area is $5^2=25.$

Thus, the correct answer is B.

6.

Una región está limitada por arcos semicirculares construidos sobre los lados de un cuadrado cuyos lados miden $\tfrac{2}{\pi},$ como se muestra. ¿Cuál es el perímetro de esta región?

A region is bounded by semicircular arcs constructed on the sides of a square whose sides measure $\tfrac{2}{\pi},$ as shown. What is the perimeter of this region?

$\dfrac{4}{\pi}$

$2$

$\dfrac{8}{\pi}$

$4$

$\dfrac{16}{\pi}$

Conceptos:arco perímetro circunferencia

Nivel de dificultad: 1060

Solución:

Cada lado tiene longitud $\tfrac{2}{\pi},$ el diámetro de un arco semicircular, así que cada arco tiene longitud $\tfrac12\pi\cdot\tfrac{2}{\pi}=1.$

La frontera consta de cuatro arcos así, por lo que el perímetro es $4\cdot1=4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each side has length $\tfrac{2}{\pi},$ the diameter of a semicircular arc, so each arc has length $\tfrac12\pi\cdot\tfrac{2}{\pi}=1.$

The boundary consists of four such arcs, so the perimeter is $4\cdot1=4.$

Thus, the correct answer is D.

7.

¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a

$\sqrt{\dfrac{x}{1-\dfrac{x-1}{x}}}$

cuando $x \lt 0$ ?

Which of the following is equivalent to

$\sqrt{\dfrac{x}{1-\dfrac{x-1}{x}}}$

when $x \lt 0?$

$-x$

$x$

$1$

$\sqrt{\dfrac{x}{2}}$

$x\sqrt{-1}$

Conceptos:radical valor absoluto manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1240

Solución:

El denominador se simplifica: $1-\dfrac{x-1}{x}=\dfrac{x-(x-1)}{x}=\dfrac{1}{x}.$

Así que la expresión es $\sqrt{\dfrac{x}{1/x}}=\sqrt{x^2}=|x|.$ Como $x \lt 0,$ esto es igual a $-x.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The denominator simplifies: $1-\dfrac{x-1}{x}=\dfrac{x-(x-1)}{x}=\dfrac{1}{x}.$

So the expression is $\sqrt{\dfrac{x}{1/x}}=\sqrt{x^2}=|x|.$ Since $x \lt 0,$ this equals $-x.$

Thus, the correct answer is A.

8.

Un cuadrado de área $40$ está inscrito en un semicírculo como se muestra. ¿Cuál es el área del semicírculo?

A square of area $40$ is inscribed in a semicircle as shown. What is the area of the semicircle?

$20\pi$

$25\pi$

$30\pi$

$40\pi$

$50\pi$

Conceptos:área del círculo Teorema de Pitágoras cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1260

Solución:

Sea el lado del cuadrado $s,$ de modo que $s^2=40.$ Su base queda centrada sobre el diámetro, y un vértice superior en $\left(\tfrac{s}{2},s\right)$ está sobre el círculo.

Entonces $r^2=\left(\tfrac{s}{2}\right)^2+s^2=\tfrac{40}{4}+40=50.$ El área del semicírculo es $\tfrac12\pi r^2=\tfrac12\pi(50)=25\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the square have side $s,$ so $s^2=40.$ Its base lies centered on the diameter, and a top corner at $\left(\tfrac{s}{2},s\right)$ lies on the circle.

Then $r^2=\left(\tfrac{s}{2}\right)^2+s^2=\tfrac{40}{4}+40=50.$ The semicircle area is $\tfrac12\pi r^2=\tfrac12\pi(50)=25\pi.$

Thus, the correct answer is B.

9.

Francesca usa $100$ gramos de jugo de limón, $100$ gramos de azúcar y $400$ gramos de agua para hacer limonada. Hay $25$ calorías en $100$ gramos de jugo de limón y $386$ calorías en $100$ gramos de azúcar. El agua no contiene calorías. ¿Cuántas calorías hay en $200$ gramos de su limonada?

Francesca uses $100$ grams of lemon juice, $100$ grams of sugar, and $400$ grams of water to make lemonade. There are $25$ calories in $100$ grams of lemon juice and $386$ calories in $100$ grams of sugar. Water contains no calories. How many calories are in $200$ grams of her lemonade?

$129$

$137$

$174$

$223$

$411$

Conceptos:razón y proporción tasa

Nivel de dificultad: 1000

Solución:

La limonada suma $100+100+400=600$ gramos que contienen $25+386=411$ calorías.

En $200$ gramos hay $411\cdot\tfrac{200}{600}=\tfrac{411}{3}=137$ calorías.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The lemonade totals $100+100+400=600$ grams containing $25+386=411$ calories.

In $200$ grams there are $411\cdot\tfrac{200}{600}=\tfrac{411}{3}=137$ calories.

Thus, the correct answer is B.

10.

En un triángulo con longitudes de lado enteras, un lado es tres veces más largo que un segundo lado, y la longitud del tercer lado es $15.$ ¿Cuál es el mayor perímetro posible del triángulo?

In a triangle with integer side lengths, one side is three times as long as a second side, and the length of the third side is $15.$ What is the greatest possible perimeter of the triangle?

$43$

$44$

$45$

$46$

$47$

Conceptos:desigualdad triangular perímetro optimización

Nivel de dificultad: 1190

Solución:

Sean los lados $x,$ $3x,$ y $15.$ La desigualdad triangular $x+15 \gt 3x$ da $x \lt 7.5.$

El mayor entero es $x=7,$ que da los lados $7,$ $21,$ $15$ y perímetro $7+21+15=43.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the sides be $x,$ $3x,$ and $15.$ The triangle inequality $x+15 \gt 3x$ gives $x \lt 7.5.$

The largest integer is $x=7,$ giving sides $7,$ $21,$ $15$ and perimeter $7+21+15=43.$

Thus, the correct answer is A.

11.

¿Cuál es la cifra de las decenas en la suma $7! + 8! + 9! + \cdots + 2006!\,$ ?

What is the tens digit in the sum $7! + 8! + 9! + \cdots + 2006!\,?$

$1$

$3$

$4$

$6$

$9$

Conceptos:factorial aritmética modular dígitos

Nivel de dificultad: 1280

Solución:

Para $n\ge 10,$ $n!$ es divisible por $100,$ así que no afecta las dos últimas cifras.

La cifra de las decenas proviene de $7!+8!+9!$ $=5040+40320+362880$ $=408240,$ cuya cifra de las decenas es $4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For $n\ge 10,$ $n!$ is divisible by $100,$ so it does not affect the last two digits.

The tens digit comes from $7!+8!+9!$ $=5040+40320+362880$ $=408240,$ whose tens digit is $4.$

Thus, the correct answer is C.

12.

Las rectas $x=\tfrac14 y+a$ y $y=\tfrac14 x+b$ se cortan en el punto $(1,2).$ ¿Cuánto vale $a+b$ ?

The lines $x=\tfrac14 y+a$ and $y=\tfrac14 x+b$ intersect at the point $(1,2).$ What is $a+b?$

$0$

$\dfrac{3}{4}$

$1$

$2$

$\dfrac{9}{4}$

Conceptos:sustitución sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1140

Solución:

Sustituyendo $(1,2)$ : de $1=\tfrac14(2)+a$ obtenemos $a=\tfrac12,$ y de $2=\tfrac14(1)+b$ obtenemos $b=\tfrac74.$

Entonces $a+b=\tfrac12+\tfrac74=\tfrac94.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Substituting $(1,2)$ : from $1=\tfrac14(2)+a$ we get $a=\tfrac12,$ and from $2=\tfrac14(1)+b$ we get $b=\tfrac74.$

Then $a+b=\tfrac12+\tfrac74=\tfrac94.$

Thus, the correct answer is E.

13.

Joe y JoAnn compraron cada uno $12$ onzas de café en una taza de $16$ onzas. Joe bebió $2$ onzas de su café y luego añadió $2$ onzas de crema. JoAnn añadió $2$ onzas de crema, revolvió bien el café y luego bebió $2$ onzas. ¿Cuál es la razón resultante entre la cantidad de crema en el café de Joe y la del café de JoAnn?

Joe and JoAnn each bought $12$ ounces of coffee in a $16$ -ounce cup. Joe drank $2$ ounces of his coffee and then added $2$ ounces of cream. JoAnn added $2$ ounces of cream, stirred the coffee well, and then drank $2$ ounces. What is the resulting ratio of the amount of cream in Joe's coffee to that in JoAnn's coffee?

$\dfrac{6}{7}$

$\dfrac{13}{14}$

$1$

$\dfrac{14}{13}$

$\dfrac{7}{6}$

Conceptos:mezcla razón y proporción

Nivel de dificultad: 1340

Solución:

Joe añade $2$ onzas de crema y no bebe nada después, así que tiene $2$ onzas de crema.

JoAnn tiene $12$ onzas de café más $2$ onzas de crema, formando $14$ onzas de mezcla uniforme. Después de beber $2$ onzas conserva $\tfrac{12}{14}=\tfrac67$ de su crema, que son $\tfrac67\cdot2=\tfrac{12}{7}$ onzas.

La razón es $2\div\tfrac{12}{7}=\tfrac{7}{6}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Joe adds $2$ ounces of cream and drinks nothing afterward, so he has $2$ ounces of cream.

JoAnn has $12$ ounces of coffee plus $2$ ounces of cream, making $14$ ounces of uniform mixture. After drinking $2$ ounces she keeps $\tfrac{12}{14}=\tfrac67$ of her cream, which is $\tfrac67\cdot2=\tfrac{12}{7}$ ounces.

The ratio is $2\div\tfrac{12}{7}=\tfrac{7}{6}.$

Thus, the correct answer is E.

14.

Sean $a$ y $b$ las raíces de la ecuación $x^2-mx+2=0.$ Supongamos que $a+\tfrac1b$ y $b+\tfrac1a$ son las raíces de la ecuación $x^2-px+q=0.$ ¿Cuánto vale $q$ ?

Let $a$ and $b$ be the roots of the equation $x^2-mx+2=0.$ Suppose that $a+\tfrac1b$ and $b+\tfrac1a$ are the roots of the equation $x^2-px+q=0.$ What is $q?$

$\dfrac{5}{2}$

$\dfrac{7}{2}$

$4$

$\dfrac{9}{2}$

$8$

Conceptos:Fórmulas de Vieta simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 1480

Solución:

Como $a$ y $b$ son raíces de $x^2-mx+2,$ se tiene $ab=2.$

El valor $q$ es el producto de las nuevas raíces: $\begin{aligned} q&=\left(a+\tfrac1b\right)\left(b+\tfrac1a\right)\\ &=ab+1+1+\tfrac{1}{ab}\\ &=2+2+\tfrac12=\tfrac92. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $a$ and $b$ are roots of $x^2-mx+2,$ we have $ab=2.$

The value $q$ is the product of the new roots: $\begin{aligned} q&=\left(a+\tfrac1b\right)\left(b+\tfrac1a\right)\\ &=ab+1+1+\tfrac{1}{ab}\\ &=2+2+\tfrac12=\tfrac92. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

15.

El rombo $ABCD$ es semejante al rombo $BFDE.$ El área del rombo $ABCD$ es $24,$ y $\angle BAD=60^\circ.$ ¿Cuál es el área del rombo $BFDE$ ?

Rhombus $ABCD$ is similar to rhombus $BFDE.$ The area of rhombus $ABCD$ is $24,$ and $\angle BAD=60^\circ.$ What is the area of rhombus $BFDE?$

$6$

$4\sqrt{3}$

$8$

$9$

$6\sqrt{3}$

Conceptos:rombo triángulo equilátero congruencia (geometría)

Nivel de dificultad: 1460

Solución:

Como $AB=AD$ y $\angle BAD=60^\circ,$ el triángulo $ABD$ es equilátero, y también lo es el triángulo $CBD.$

Los puntos $E$ y $F$ dividen el rombo en seis triángulos congruentes, cada uno de área $\tfrac{24}{6}=4.$

El rombo $BFDE$ es la unión de los triángulos $BED$ y $BFD,$ así que su área es $2\cdot4=8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because $AB=AD$ and $\angle BAD=60^\circ,$ triangle $ABD$ is equilateral, and so is triangle $CBD.$

Points $E$ and $F$ split the rhombus into six congruent triangles, each of area $\tfrac{24}{6}=4.$

Rhombus $BFDE$ is the union of triangles $BED$ and $BFD,$ so its area is $2\cdot4=8.$

Thus, the correct answer is C.

16.

El día bisiesto, 29 de febrero de 2004, cayó en domingo. ¿En qué día de la semana caerá el día bisiesto, 29 de febrero de 2020?

Leap Day, February 29, 2004, occurred on a Sunday. On what day of the week will Leap Day, February 29, 2020, occur?

martes

Tuesday

miércoles

Wednesday

jueves

Thursday

viernes

Friday

sábado

Saturday

Conceptos:fecha y hora aritmética modular

Nivel de dificultad: 1340

Solución:

De un día bisiesto al siguiente hay $3\cdot365+366=1461$ días, y $1461\equiv 5\pmod 7.$

A lo largo de los cuatro ciclos de 2004 a 2020, el día de la semana adelanta $4\cdot5=20\equiv 6\pmod 7,$ es decir, $6$ días hacia adelante, lo que equivale a un día antes del domingo.

Por lo tanto, el día bisiesto de 2020 cae en sábado.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

From one Leap Day to the next is $3\cdot365+366=1461$ days, and $1461\equiv 5\pmod 7.$

Over the four cycles from 2004 to 2020, the weekday advances $4\cdot5=20\equiv 6\pmod 7,$ that is, $6$ days forward, which is one day back from Sunday.

So Leap Day 2020 falls on a Saturday.

Thus, the correct answer is E.

17.

Bob y Alice tienen cada uno una bolsa que contiene una bola de cada uno de los colores azul, verde, naranja, rojo y violeta. Alice selecciona al azar una bola de su bolsa y la pone en la bolsa de Bob. Luego Bob selecciona al azar una bola de su bolsa y la pone en la bolsa de Alice. ¿Cuál es la probabilidad de que, después de este proceso, el contenido de las dos bolsas sea el mismo?

Bob and Alice each have a bag that contains one ball of each of the colors blue, green, orange, red, and violet. Alice randomly selects one ball from her bag and puts it into Bob's bag. Bob then randomly selects one ball from his bag and puts it into Alice's bag. What is the probability that after this process the contents of the two bags are the same?

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:probabilidad básica simetría

Nivel de dificultad: 1460

Solución:

Alice mueve una bola a Bob, así que la bolsa de Bob contiene $6$ bolas con exactamente un color que aparece dos veces.

Las dos bolsas quedan idénticas exactamente cuando Bob devuelve una de ese par duplicado. Dos de las seis bolas cumplen la condición, así que la probabilidad es $\tfrac26=\tfrac13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Alice moves one ball to Bob, so Bob's bag holds $6$ balls with exactly one color appearing twice.

The two bags end up identical exactly when Bob returns one of that duplicated pair. Two of the six balls qualify, so the probability is $\tfrac26=\tfrac13.$

Thus, the correct answer is D.

18.

Sea $a_1,a_2,\ldots$ una sucesión para la cual $a_1=2,$ $a_2=3,$ y $a_n=\dfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}$ para cada entero positivo $n\ge 3.$ ¿Cuánto vale $a_{2006}$ ?

Let $a_1,a_2,\ldots$ be a sequence for which $a_1=2,$ $a_2=3,$ and $a_n=\dfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}$ for each positive integer $n\ge 3.$ What is $a_{2006}?$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{2}$

$2$

$3$

Conceptos:recursión reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1280

Solución:

Los términos son $2,\,3,\,\tfrac32,\,\tfrac12,\,\tfrac13,\,\tfrac23,$ luego $2,\,3,\ldots,$ un ciclo de longitud $6.$

Como $2006=6\cdot334+2,$ se tiene $a_{2006}=a_2=3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The terms are $2,\,3,\,\tfrac32,\,\tfrac12,\,\tfrac13,\,\tfrac23,$ then $2,\,3,\ldots,$ a cycle of length $6.$

Since $2006=6\cdot334+2,$ we have $a_{2006}=a_2=3.$

Thus, the correct answer is E.

19.

Un círculo de radio $2$ está centrado en $O.$ El cuadrado $OABC$ tiene lado $1.$ Los lados $\overline{AB}$ y $\overline{CB}$ se prolongan más allá de $B$ hasta cortar el círculo en $D$ y $E,$ respectivamente. ¿Cuál es el área de la región sombreada de la figura, que está limitada por $\overline{BD},$ $\overline{BE},$ y el arco menor que une $D$ y $E$ ?

A circle of radius $2$ is centered at $O.$ Square $OABC$ has side length $1.$ Sides $\overline{AB}$ and $\overline{CB}$ are extended past $B$ to meet the circle at $D$ and $E,$ respectively. What is the area of the shaded region in the figure, which is bounded by $\overline{BD},$ $\overline{BE},$ and the minor arc connecting $D$ and $E?$

$\dfrac{\pi}{3}+1-\sqrt{3}$

$\dfrac{\pi}{2}(2-\sqrt{3})$

$\pi(2-\sqrt{3})$

$\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$

$\dfrac{\pi}{3}-1+\sqrt{3}$

Conceptos:sector circular área del triángulo persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1820

Solución:

Como $OA=1$ y $OD=2$ con $D$ sobre la recta $x=1,$ obtenemos $\angle AOD=60^\circ,$ e igualmente $\angle COE=60^\circ,$ así que $\angle DOE=30^\circ.$

El sector $DOE$ tiene área $\tfrac{30}{360}\pi(2^2)=\tfrac{\pi}{3}.$

La región es este sector menos los triángulos $OBD$ y $OBE.$ Con $BD=BE=\sqrt3-1,$ cada triángulo tiene área $\tfrac12(\sqrt3-1)(1),$ que suman $\sqrt3-1.$

Así que el área sombreada es $\tfrac{\pi}{3}-(\sqrt3-1)=\tfrac{\pi}{3}+1-\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $OA=1$ and $OD=2$ with $D$ on the line $x=1,$ we get $\angle AOD=60^\circ,$ and likewise $\angle COE=60^\circ,$ so $\angle DOE=30^\circ.$

The sector $DOE$ has area $\tfrac{30}{360}\pi(2^2)=\tfrac{\pi}{3}.$

The region is this sector minus triangles $OBD$ and $OBE.$ With $BD=BE=\sqrt3-1,$ each triangle has area $\tfrac12(\sqrt3-1)(1),$ totaling $\sqrt3-1.$

So the shaded area is $\tfrac{\pi}{3}-(\sqrt3-1)=\tfrac{\pi}{3}+1-\sqrt3.$

Thus, the correct answer is A.

20.

En el rectángulo $ABCD,$ tenemos $A=(6,-22),$ $B=(2006,178),$ y $D=(8,y)$ para algún entero $y.$ ¿Cuál es el área del rectángulo $ABCD$ ?

In rectangle $ABCD,$ we have $A=(6,-22),$ $B=(2006,178),$ and $D=(8,y)$ for some integer $y.$ What is the area of rectangle $ABCD?$

$4000$

$4040$

$4400$

$40{,}000$

$40{,}400$

Conceptos:geometría analítica pendiente fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1580

Solución:

La pendiente de $\overline{AB}$ es $\tfrac{178-(-22)}{2006-6}=\tfrac{200}{2000}=\tfrac1{10}.$ Como $\overline{AD}\perp\overline{AB},$ su pendiente es $-10,$ así que $\tfrac{y+22}{8-6}=-10$ da $y=-42.$

Entonces $AB=\sqrt{2000^2+200^2}$ $=200\sqrt{101}$ y $AD=\sqrt{2^2+20^2}=2\sqrt{101}.$

El área es $200\sqrt{101}\cdot2\sqrt{101}$ $=400\cdot101$ $=40{,}400.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The slope of $\overline{AB}$ is $\tfrac{178-(-22)}{2006-6}=\tfrac{200}{2000}=\tfrac1{10}.$ Since $\overline{AD}\perp\overline{AB},$ its slope is $-10,$ so $\tfrac{y+22}{8-6}=-10$ gives $y=-42.$

Then $AB=\sqrt{2000^2+200^2}$ $=200\sqrt{101}$ and $AD=\sqrt{2^2+20^2}=2\sqrt{101}.$

The area is $200\sqrt{101}\cdot2\sqrt{101}$ $=400\cdot101$ $=40{,}400.$

Thus, the correct answer is E.

21.

Para un par peculiar particular de dados, las probabilidades de sacar $1,2,3,4,5,$ y $6$ en cada dado están en la razón $1:2:3:4:5:6.$ ¿Cuál es la probabilidad de sacar un total de $7$ con los dos dados?

For a particular peculiar pair of dice, the probabilities of rolling $1,2,3,4,5,$ and $6$ on each die are in the ratio $1:2:3:4:5:6.$ What is the probability of rolling a total of $7$ on the two dice?

$\dfrac{4}{63}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{8}{63}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{2}{7}$

Conceptos:dados (probabilidad)probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

Cada dado muestra $k$ con probabilidad $\tfrac{k}{1+2+\cdots+6}=\tfrac{k}{21}.$

Para un total de $7,$ los pares ordenados $(1,6),(2,5),\ldots,(6,1)$ contribuyen $\begin{aligned} &\scriptsize\dfrac{1\cdot6+2\cdot5+3\cdot4+4\cdot3+5\cdot2+6\cdot1}{21^2}\\ &=\dfrac{56}{441}=\dfrac{8}{63}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each die shows $k$ with probability $\tfrac{k}{1+2+\cdots+6}=\tfrac{k}{21}.$

For a total of $7,$ the ordered pairs $(1,6),(2,5),\ldots,(6,1)$ contribute $\begin{aligned} &\scriptsize\dfrac{1\cdot6+2\cdot5+3\cdot4+4\cdot3+5\cdot2+6\cdot1}{21^2}\\ &=\dfrac{56}{441}=\dfrac{8}{63}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

22.

Elmo hace $N$ sándwiches para una recaudación de fondos. Para cada sándwich usa $B$ porciones de mantequilla de maní a $4$ ¢ por porción y $J$ porciones de mermelada a $5$ ¢ por porción. El costo de la mantequilla de maní y la mermelada para hacer todos los sándwiches es $\$2.53.$ Supón que $B,$ $J,$ y $N$ son enteros positivos con $N \gt 1.$ ¿Cuál es el costo de la mermelada que Elmo usa para hacer los sándwiches?

Elmo makes $N$ sandwiches for a fundraiser. For each sandwich he uses $B$ globs of peanut butter at $4$ ¢ per glob and $J$ blobs of jam at $5$ ¢ per blob. The cost of the peanut butter and jam to make all the sandwiches is $\$2.53.$ Assume that $B,$ $J,$ and $N$ are positive integers with $N \gt 1.$ What is the cost of the jam Elmo uses to make the sandwiches?

$\$1.05$

$\$1.25$

$\$1.45$

$\$1.65$

$\$1.85$

Conceptos:Ecuación diofántica factorización en primos análisis por casos

Nivel de dificultad: 1860

Solución:

El costo total es $N(4B+5J)=253$ centavos $=11\cdot23.$ Como $N \gt 1,$ $N\in\{11,23,253\}.$

Si $N=253$ o $N=23,$ entonces $4B+5J$ es igual a $1$ u $11,$ imposible para enteros positivos.

Así que $N=11$ y $4B+5J=23,$ cuya única solución positiva es $B=2,$ $J=3.$ La mermelada cuesta $11\cdot3\cdot5=165$ centavos, o $\$1.65.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The total cost is $N(4B+5J)=253$ cents $=11\cdot23.$ Since $N \gt 1,$ $N\in\{11,23,253\}.$

If $N=253$ or $N=23,$ then $4B+5J$ equals $1$ or $11,$ impossible for positive integers.

So $N=11$ and $4B+5J=23,$ whose only positive solution is $B=2,$ $J=3.$ The jam costs $11\cdot3\cdot5=165$ cents, or $\$1.65.$

Thus, the correct answer is D.

23.

Un triángulo se divide en tres triángulos y un cuadrilátero trazando dos líneas desde vértices hacia sus lados opuestos. Las áreas de los tres triángulos son $3,$ $7,$ y $7,$ como se muestra. ¿Cuál es el área del cuadrilátero sombreado?

A triangle is partitioned into three triangles and a quadrilateral by drawing two lines from vertices to their opposite sides. The areas of the three triangles are $3,$ $7,$ and $7,$ as shown. What is the area of the shaded quadrilateral?

$15$

$17$

$\dfrac{35}{2}$

$18$

$\dfrac{55}{3}$

Conceptos:razón de áreas sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1950

Solución:

Divide el cuadrilátero en dos triángulos de áreas $R$ y $S,$ de modo que el área sombreada es $T=R+S.$

Comparando triángulos que comparten una altura, las razones de las bases dan $\tfrac{R}{3}=\tfrac{T+7}{10}$ y $\tfrac{S}{7}=\tfrac{T+3}{14}.$

Entonces $T=R+S=3\cdot\tfrac{T+7}{10}+7\cdot\tfrac{T+3}{14},$ así que $10T=3(T+7)$ $+5(T+3)$ $=8T+36,$ lo que da $T=18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Split the quadrilateral into two triangles of areas $R$ and $S,$ so the shaded area is $T=R+S.$

Comparing triangles that share an altitude, base ratios give $\tfrac{R}{3}=\tfrac{T+7}{10}$ and $\tfrac{S}{7}=\tfrac{T+3}{14}.$

Then $T=R+S=3\cdot\tfrac{T+7}{10}+7\cdot\tfrac{T+3}{14},$ so $10T=3(T+7)$ $+5(T+3)$ $=8T+36,$ giving $T=18.$

Thus, the correct answer is D.

24.

Los círculos con centros en $O$ y $P$ tienen radios $2$ y $4,$ respectivamente, y son tangentes exteriormente. Los puntos $A$ y $B$ en el círculo de centro $O$ y los puntos $C$ y $D$ en el círculo de centro $P$ son tales que $\overline{AD}$ y $\overline{BC}$ son tangentes exteriores comunes a los círculos. ¿Cuál es el área del hexágono cóncavo $AOBCPD$ ?

Circles with centers at $O$ and $P$ have radii $2$ and $4,$ respectively, and are externally tangent. Points $A$ and $B$ on the circle with center $O$ and points $C$ and $D$ on the circle with center $P$ are such that $\overline{AD}$ and $\overline{BC}$ are common external tangents to the circles. What is the area of the concave hexagon $AOBCPD?$

$18\sqrt{3}$

$24\sqrt{2}$

$36$

$24\sqrt{3}$

$32\sqrt{2}$

Conceptos:circunferencias tangentes trapecio triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 2010

Solución:

El hexágono es simétrico respecto a $\overline{OP},$ así que su área es el doble de la del trapecio $AOPD.$

Traza $OF\parallel AD$ con $F$ sobre $\overline{PD}.$ Entonces $AOFD$ es un rectángulo, así que $DF=OA=2$ y $FP=PD-DF=4-2=2.$

Como los círculos son tangentes exteriormente, $OP=2+4=6,$ así que en el triángulo rectángulo $OFP,$ $OF=\sqrt{36-4}=4\sqrt2.$

El trapecio $AOPD$ tiene lados paralelos $OA=2$ y $PD=4$ con altura $OF=4\sqrt2,$ lo que da un área de $\tfrac12(2+4)(4\sqrt2)=12\sqrt2.$ El área del hexágono es $2\cdot12\sqrt2=24\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The hexagon is symmetric about $\overline{OP},$ so its area is twice that of trapezoid $AOPD.$

Draw $OF\parallel AD$ with $F$ on $\overline{PD}.$ Then $AOFD$ is a rectangle, so $DF=OA=2$ and $FP=PD-DF=4-2=2.$

Since the circles are externally tangent, $OP=2+4=6,$ so in right triangle $OFP,$ $OF=\sqrt{36-4}=4\sqrt2.$

Trapezoid $AOPD$ has parallel sides $OA=2$ and $PD=4$ with height $OF=4\sqrt2,$ giving area $\tfrac12(2+4)(4\sqrt2)=12\sqrt2.$ The hexagon area is $2\cdot12\sqrt2=24\sqrt2.$

Thus, the correct answer is B.

25.

El señor Jones tiene ocho hijos de edades distintas. En un viaje familiar, su hija mayor, que tiene $9,$ ve una placa con un número de $4$ cifras en el que cada uno de dos dígitos aparece dos veces. «¡Mira, papá! ¡Ese número es divisible exactamente por la edad de cada uno de nosotros!», exclama. «Así es», responde el señor Jones, «y las dos últimas cifras resultan ser justo mi edad». ¿Cuál de las siguientes no es la edad de uno de los hijos del señor Jones?

Mr. Jones has eight children of different ages. On a family trip his oldest child, who is $9,$ spots a license plate with a $4$ -digit number in which each of two digits appears two times. "Look, daddy!" she exclaims. "That number is evenly divisible by the age of each of us kids!" "That's right," replies Mr. Jones, "and the last two digits just happen to be my age." Which of the following is not the age of one of Mr. Jones's children?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:divisibilidad análisis por casos

Nivel de dificultad: 2120

Solución:

Como un hijo tiene $9,$ el número es divisible por $9,$ así que su suma de cifras $2(a+b)$ es un múltiplo de $9,$ lo que fuerza $a+b=9.$

También hay un hijo de $4$ u $8$ años, así que el número es divisible por $4.$ Entre los números con dos dígitos repetidos que suman $9$ y son divisibles por $4,$ el número $5544$ es divisible por $1, 2, 3, 4, 6, 7, 8,$ y $9,$ pero no por $5.$

Así que las ocho edades pueden ser $\{1,2,3,4,6,7,8,9\},$ y $5$ no tiene por qué estar entre ellas. La edad que no es necesariamente la de un hijo es $5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since a child is $9,$ the number is divisible by $9,$ so its digit sum $2(a+b)$ is a multiple of $9,$ which forces $a+b=9.$

There is also a $4$ - or $8$ -year-old, so the number is divisible by $4.$ Among numbers with two repeated digits summing to $9$ and divisible by $4,$ the number $5544$ is divisible by $1, 2, 3, 4, 6, 7, 8,$ and $9,$ but not by $5.$

So the eight ages can be $\{1,2,3,4,6,7,8,9\},$ and $5$ need not be among them. The age that is not necessarily a child's age is $5.$

Thus, the correct answer is B.