Question

Una caja cerrada con base cuadrada se va a envolver con una hoja cuadrada de papel de regalo. La caja está centrada sobre el papel, con los vértices de la base situados sobre las líneas medias de la hoja cuadrada de papel, como se muestra en la figura. Las cuatro esquinas del papel se doblan hacia arriba sobre los lados y se juntan en el centro de la parte superior de la caja. La caja tiene longitud de base $w$ y altura $h.$ ¿Cuál es el área de la hoja de papel de regalo?

A closed box with a square base is to be wrapped with a square sheet of wrapping paper. The box is centered on the wrapping paper with the vertices of the base lying on the midlines of the square sheet of paper, as shown in the figure. The four corners of the wrapping paper are folded up over the sides and brought together to meet at the center of the top of the box. The box has base length $w$ and height $h.$ What is the area of the sheet of wrapping paper?

$2(w + h)^2$

$\dfrac{(w + h)^2}{2}$

$2w^2 + 4wh$

$2w^2$

$w^2 h$

Solución:

Sea el lado de la hoja igual a $s.$ La base se dispone como un cuadrado de lado $w$ girado $45^\circ,$ así que el centro está a $\tfrac{w}{2}$ de cada borde de la base. Una esquina de la hoja está a $\tfrac{s}{\sqrt2}$ del centro. Doblar esa esquina hasta el centro superior traza una línea recta: $\tfrac{w}{2}$ hasta el borde de la base, luego $h$ subiendo por el lado, y luego $\tfrac{w}{2}$ cruzando la parte superior. Así que $\tfrac{s}{\sqrt2} = \tfrac{w}{2} + h + \tfrac{w}{2} = w + h.$ Entonces $s = \sqrt2\,(w + h),$ y el área es $s^2 = 2(w + h)^2.$ Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let the sheet have side $s.$ The base sits as a square of side $w$ turned $45^\circ,$ so the center is $\tfrac{w}{2}$ from each base edge. A corner of the sheet lies $\tfrac{s}{\sqrt2}$ from the center. Folding that corner up to the top center traces a straight line: $\tfrac{w}{2}$ out to the base edge, then $h$ up the side, then $\tfrac{w}{2}$ across the top. So $\tfrac{s}{\sqrt2} = \tfrac{w}{2} + h + \tfrac{w}{2} = w + h.$ Then $s = \sqrt2\,(w + h),$ and the area is $s^2 = 2(w + h)^2.$ Thus, A is the correct answer.

2018 AMC 10B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años