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2012 AMC 10A Problema 15

Intenta el Problema 15 del 2012 AMC 10A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2012 AMC 10A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

Se muestran tres cuadrados unitarios y dos segmentos de recta que conectan dos pares de vértices. ¿Cuál es el área de △ABC\triangle ABC?
Three unit squares and two line segments connecting two pairs of vertices are shown. What is the area of △ABC?\triangle ABC?
16\dfrac16
15\dfrac15
29\dfrac29
13\dfrac13
24\dfrac{\sqrt{2}}{4}
Respuesta: B
Conceptos:geometría analíticaárea del triángulo
Nivel de dificultad: 1480
Pista pequeña:
Coloca AA y BB sobre los ejes de coordenadas.
Place AA and BB on coordinate axes
Pista grande:
Halla la intersección de las dos rectas dibujadas.
Find the intersection of the two drawn lines
Solución:
Podemos usar geometría de coordenadas para hallar dónde ocurre la intersección de las dos rectas.
Sea AA el origen y B=(1,0).B = (1, 0). Entonces la pendiente de la recta que pasa por AA es −12,-\dfrac{1}{2}, lo que hace que la ecuación de la recta sea y=−12x. y = -\dfrac{1}{2}x. La pendiente de la recta que pasa por BB es 2.2. La intersección con el eje yy es −2.-2. Esto hace que la ecuación de esta recta sea y=2x−2. y = 2x - 2.
Igualando las ecuaciones, obtenemos 2x−2=−12x 2x - 2 = -\dfrac{1}{2}x x=45. x = \dfrac{4}{5}.
Esto hace que la coordenada yy de CC sea −12⋅45=−25. -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{5} = -\dfrac{2}{5}.
El área del triángulo ABCABC es entonces 12⋅1⋅25=15. \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{5}.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
We can use coordinate geometry to figure out where the intersection of the two lines occurs.
Let AA be the origin and B=(1,0).B = (1, 0). Then the slope of the line through AA is −12,-\dfrac{1}{2}, which makes the equation of the line y=−12x. y = -\dfrac{1}{2}x. The slope of the line through BB is 2.2. The yy-intercept is −2.-2. This makes the equation of this line y=2x−2. y = 2x - 2.
Equating the equations, we get 2x−2=−12x 2x - 2 = -\dfrac{1}{2}x x=45. x = \dfrac{4}{5}.
This makes the yy-coordinate of CC −12⋅45=−25. -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{5} = -\dfrac{2}{5}.
The area of triangle ABCABC is then 12⋅1⋅25=15. \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{5}.
Thus, B is the correct answer.
Problema 14#14
Examen completo
Problema 16#16

El Problema 15 en otros años

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