Question

Todos los números $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9$ se escriben en un arreglo de casillas $3\times3$ , un número en cada casilla, de tal manera que si dos números son consecutivos entonces ocupan casillas que comparten un lado. Los números en las cuatro esquinas suman $18.$ ¿Cuál es el número en el centro?

All the numbers $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9$ are written in a $3\times3$ array of squares, one number in each square, in such a way that if two numbers are consecutive then they occupy squares that share an edge. The numbers in the four corners add up to $18.$ What is the number in the center?

$\ 5$

$\ 6$

$\ 7$

$\ 8$

$\ 9$

Solución:

Primero afirmamos que todo lo que está en el centro o en una esquina es impar. Esto se debe a que cada número está junto a un número consecutivo y, por lo tanto, tiene la paridad opuesta a él.

Por lo tanto, todos los puntos que son el centro o una esquina tienen la misma paridad. Hay $5$ de esos puntos, pero solo $4$ números pares, así que su paridad no es par. Por lo tanto, todos son impares. Esto significa que la suma de las esquinas más el centro es $1+3+5+7+9=25.$

Como las esquinas suman $18,$ el centro tiene un valor de $25-18=7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

We firstly claim that everything that is either in the center or a corner is odd. This is because every number is next to a consecutive number and therefore has the opposite parity as it.

Therefore, all of the points that are the center or a corner are the same parity. The are $5$ such points, but only $4$ even numbers, so their parity isn't even. Thus, they are all odd. This means the sum of the corners plus the center is $1+3+5+7+9=25.$

Since the corners have a sum of $18,$ the center has a value of $25-18=7.$

Thus, the correct answer is C .

2016 AMC 10B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años