Question

Steve escribió los dígitos $1$ , $2$ , $3$ , $4$ y $5$ en orden repetidamente de izquierda a derecha, formando una lista de $10,000$ dígitos, que empieza $123451234512\ldots$

Luego borró cada tercer dígito de su lista (es decir, los dígitos $3$ º, $6$ º, $9$ º, $\ldots$ desde la izquierda), después borró cada cuarto dígito de la lista resultante (es decir, los dígitos $4$ º, $8$ º, $12$ º, $\ldots$ desde la izquierda de lo que quedaba), y luego borró cada quinto dígito de lo que quedaba en ese punto.

¿Cuál es la suma de los tres dígitos que quedaron entonces en las posiciones $2019$ , $2020$ y $2021$ ?

Steve wrote the digits $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ and $5$ in order repeatedly from left to right, forming a list of $10,000$ digits, beginning $123451234512\ldots$

He then erased every third digit from his list (that is, the $3$ rd, $6$ th, $9$ th, $\ldots$ digits from the left), then erased every fourth digit from the resulting list (that is, the $4$ th, $8$ th, $12$ th, $\ldots$ digits from the left in what remained), and then erased every fifth digit from what remained at that point.

What is the sum of the three digits that were then in positions $2019,$ $2020,$ and $2021?$

$7$

$9$

$10$

$11$

$12$

Solución:

Comienza con el bloque que se repite $12345$ . Borrar cada tercer dígito se repite cada $\operatorname{lcm}(3,5)=15$ posiciones originales: $\begin{aligned} &123451234512345 \\ &\quad \longrightarrow 1245235134, \end{aligned}$ así que el nuevo periodo tiene longitud $10$ .

Borrar cada cuarto dígito de este periodo se repite cada $\operatorname{lcm}(4,10)=20$ posiciones: $\begin{aligned} &12452351341245235134 \\ &\quad \longrightarrow 124235341452513, \end{aligned}$ así que el nuevo periodo tiene longitud $15$ .

Borrar cada quinto dígito de este periodo da $\begin{aligned} &124235341452513 \\ &\quad \longrightarrow 124253415251, \end{aligned}$ que tiene periodo $12$ . Como $2019\equiv 3\pmod{12}$ , los dígitos en las posiciones $2019$ , $2020$ y $2021$ son el 3.º, 4.º y 5.º dígitos de este periodo: $4,2,5$ . Su suma es $11$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Start with the repeating block $12345$ . Deleting every third digit repeats over $\operatorname{lcm}(3,5)=15$ original positions: $\begin{aligned} &123451234512345 \\ &\quad \longrightarrow 1245235134, \end{aligned}$ so the new period has length $10$ .

Deleting every fourth digit from this period repeats over $\operatorname{lcm}(4,10)=20$ positions: $\begin{aligned} &12452351341245235134 \\ &\quad \longrightarrow 124235341452513, \end{aligned}$ so the new period has length $15$ .

Deleting every fifth digit from this period gives $\begin{aligned} &124235341452513 \\ &\quad \longrightarrow 124253415251, \end{aligned}$ which has period $12$ . Since $2019\equiv 3\pmod{12}$ , the digits in positions $2019$ , $2020$ , and $2021$ are the 3rd, 4th, and 5th digits of this period: $4,2,5$ . Their sum is $11$ .

Thus, the correct answer is D .

2020 AMC 10B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años