Question

Los triángulos rectángulos $T_1$ y $T_2,$ tienen áreas de 1 y 2, respectivamente. Un lado de $T_1$ es congruente con un lado de $T_2,$ y otro lado distinto de $T_1$ es congruente con otro lado distinto de $T_2.$ ¿Cuál es el cuadrado del producto de las longitudes de los otros (terceros) lados de $T_1$ y $T_2$ ?

Right triangles $T_1$ and $T_2,$ have areas of 1 and 2, respectively. A side of $T_1$ is congruent to a side of $T_2,$ and a different side of $T_1$ is congruent to a different side of $T_2.$ What is the square of the product of the lengths of the other (third) sides of $T_1$ and $T_2?$

$\dfrac{28}{3}$

$10$

$\dfrac{32}{3}$

$\dfrac{34}{3}$

$12$

Solución:

Sean $a\le b$ las longitudes de los dos lados compartidos. Un triángulo puede tener catetos $a$ y $b$ , mientras que el otro tiene lados $a$ , $\sqrt{b^2-a^2}$ , e hipotenusa $b$ .

El producto de los dos terceros lados no compartidos es $\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{b^2-a^2}$ , cuyo cuadrado es $b^4-a^4$ .

Usando las áreas, $\dfrac{ab}{2}=2$ y $\dfrac{a\sqrt{b^2-a^2}}{2}=1$ . Por lo tanto $a^2b^2=16$ y $a^2(b^2-a^2)=4$ , así que $a^4=12$ . Entonces $b^4=\dfrac{256}{12}=\dfrac{64}{3}$ , y $b^4-a^4=\dfrac{28}{3}$ . Así, A es la respuesta correcta.

Let the two shared side lengths be $a\le b$ . One triangle can have legs $a$ and $b$ , while the other has side lengths $a$ , $\sqrt{b^2-a^2}$ , and hypotenuse $b$ .

The product of the two non-shared third sides is $\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{b^2-a^2}$ , whose square is $b^4-a^4$ .

Using the areas, $\dfrac{ab}{2}=2$ and $\dfrac{a\sqrt{b^2-a^2}}{2}=1$ . Hence $a^2b^2=16$ and $a^2(b^2-a^2)=4$ , so $a^4=12$ . Then $b^4=\dfrac{256}{12}=\dfrac{64}{3}$ , and $b^4-a^4=\dfrac{28}{3}$ . Thus, A is the correct answer.

2019 AMC 10B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años