Question

Se deben seleccionar valores para

A,

B,

C,

y

D

de

\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

sin repetición (es decir, no hay dos letras con el mismo valor). ¿De cuántas maneras se pueden hacer tales elecciones para que las dos curvas

y=Ax^2+B

y

y=Cx^2+D

se corten?

El orden en que se enumeran las curvas no importa; por ejemplo, las elecciones

A=3,

B=2,

C=4,

D=1

se consideran iguales a las elecciones

A=4,

B=1,

C=3,

D=2.

Values for

A,

B,

C,

and

D

are to be selected from

\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

without replacement (i.e., no two letters have the same value). How many ways are there to make such choices so that the two curves

y=Ax^2+B

and

y=Cx^2+D

intersect?

(The order in which the curves are listed does not matter; for example, the choices

A=3,

B=2,

C=4,

D=1

is considered the same as the choices

A=4,

B=1,

C=3,

D=2.

)

30

60

90

180

360

Respuesta: C

Conceptos:parábola combinaciones

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Las parábolas se cortan exactamente cuando el valor despejado de

x^2

es no negativo.

The parabolas intersect exactly when the solved value of

x^2

is nonnegative

Pista grande:

Las dos diferencias

D-B

y

A-C

deben tener el mismo signo.

The two differences

D-B

and

A-C

must have the same sign

Solución en video:

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Solución escrita:

Igualando las dos ecuaciones, obtenemos

Ax^2 + B = Cx^2 + D

x^2(A - C) = D - B

x^2 = \dfrac{D - B}{A - C} \geq 0

ya que los cuadrados son no negativos.

Esto significa que

D - B

y

A - C

deben tener ambos el mismo signo.

Si elegimos dos valores distintos para

(A, C)

y

(B, D),

hay

2

maneras de disponerlos de modo que el numerador y el denominador tengan el mismo signo.

Sin embargo, tenemos que dividir entre

2

, ya que las dos curvas no se consideran distintas.

Por lo tanto, el número total de tuplas es

\dfrac{1}{2} \binom{6}{2} \binom{4}{2} \cdot 2 = 90.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Setting the equations equal to each other, we get

Ax^2 + B = Cx^2 + D

x^2(A - C) = D - B

x^2 = \dfrac{D - B}{A - C} \geq 0

since squares are non-negative.

This means

D - B

and

A - C

must both have the same sign.

If we choose two distinct values for

(A, C)

and

(B, D),

there are

2

ways to arrange them such that the numerator and denominator both have the same sign.

We have to divide by

2,

however, since the two curves are not considered distinct.

Therefore, the total number of tuples is

\dfrac{1}{2} \binom{6}{2} \binom{4}{2} \cdot 2 = 90.

Thus, C is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 15