Question

Se deben seleccionar valores para $A,B,C$ y $D$ de $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ sin repetición (es decir, no hay dos letras con el mismo valor). ¿De cuántas maneras se pueden hacer tales elecciones para que las dos curvas $y=Ax^2+B$ y $y=Cx^2+D$ se corten?

El orden en que se enumeran las curvas no importa; por ejemplo, las elecciones $A=3,$ $B=2,$ $C=4,$ $D=1$ se consideran iguales a las elecciones $A=4,$ $B=1,$ $C=3,$ $D=2$ .

Values for $A,B,C,$ and $D$ are to be selected from $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ without replacement (i.e. no two letters have the same value). How many ways are there to make such choices so that the two curves $y=Ax^2+B$ and $y=Cx^2+D$ intersect?

(The order in which the curves are listed does not matter; for example, the choices $A=3,$ $B=2,$ $C=4,$ $D=1$ is considered the same as the choices $A=4,$ $B=1,$ $C=3,$ $D=2.$ )

$30$

$60$

$90$

$180$

$360$

Solución en video:

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Solución escrita:

Igualando las dos ecuaciones, obtenemos $Ax^2 + B = Cx^2 + D$ $x^2(A - C) = D - B$ $x^2 = \dfrac{D - B}{A - C} \geq 0$ ya que los cuadrados son no negativos.

Esto significa que $D - B$ y $A - C$ deben tener ambos el mismo signo.

Si elegimos dos valores distintos para $(A, C)$ y $(B, D),$ hay $2$ maneras de disponerlos de modo que el numerador y el denominador tengan el mismo signo.

Sin embargo, tenemos que dividir entre $2$ , ya que las dos curvas no se consideran distintas.

Por lo tanto, el número total de tuplas es $\dfrac{1}{2} \binom{6}{2} \binom{4}{2} \cdot 2 = 90.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Setting the equations equal to each other, we get $Ax^2 + B = Cx^2 + D$ $x^2(A - C) = D - B$ $x^2 = \dfrac{D - B}{A - C} \geq 0$ since squares are non-negative.

This means $D - B$ and $A - C$ must both have the same sign.

If we choose two distinct values for $(A, C)$ and $(B, D),$ there are $2$ ways to arrange them such that the numerator and denominator both have the same sign.

We have to divide by $2,$ however, since the two curves are not considered distinct.

Therefore, the total number of tuples is $\dfrac{1}{2} \binom{6}{2} \binom{4}{2} \cdot 2 = 90.$

Thus, C is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 15

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 15 en otros años