Question

Chloe elige un número real de manera uniforme al azar del intervalo $[0, 2017].$

De forma independiente, Laurent elige un número real de manera uniforme al azar del intervalo $[0, 4034].$

¿Cuál es la probabilidad de que el número de Laurent sea mayor que el número de Chloe?

Chloe chooses a real number uniformly at random from the interval $[0, 2017].$

Independently, Laurent chooses a real number uniformly at random from the interval $[0, 4034].$

What is the probability that Laurent's number is greater than Chloe's number?

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{5}{6}$

$\dfrac{7}{8}$

Solución:

Si Laurent elige un número en el intervalo $(2017, 4034],$ entonces no hay forma de que Chloe tenga el número mayor.

Esto significa que Laurent tiene una probabilidad de $\frac{1}{2}$ de ganar automáticamente.

De lo contrario, Laurent elige un número en el intervalo $[0, 2017].$ La probabilidad de que obtenga un número mayor que Chloe es la misma que la de que Chloe obtenga un número mayor que Laurent.

Esto significa que Laurent tiene una probabilidad de $\frac{1}{2}$ de obtener un número mayor (al trabajar con intervalos reales, la probabilidad de un empate es esencialmente $0$ debido al tamaño infinito de los intervalos).

La probabilidad total de que Laurent obtenga un número mayor es $\dfrac{1}{2} \cdot 1 + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

If Laurent chooses a number in the interval $(2017, 4034],$ then there is no way that Chloe can have the greater number.

This means that Laurent has a $\frac{1}{2}$ chance of automatically winning.

Otherwise, Laurent chooses a number in the interval $[0, 2017].$ The probability that she gets a greater number than Chloe is the same as Chloe getting a greater number then Laurent.

This means that Laurent has a $\frac{1}{2}$ chance of getting a greater number (when working with real intervals, the probability of a tie is essentially $0$ due to the infinite size of the intervals).

Laurent's total chance of getting a greater number is $\dfrac{1}{2} \cdot 1 + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}.$

Thus, C is the correct answer.

2017 AMC 10A Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años