Question

Cuatro círculos de radio $1$ son cada uno tangentes a dos lados de un cuadrado y tangentes externamente a un círculo de radio $2,$ como se muestra. ¿Cuál es el área del cuadrado?

Four circles of radius $1$ are each tangent to two sides of a square and externally tangent to a circle of radius $2,$ as shown. What is the area of the square?

$32$

$22 + 12\sqrt{2}$

$16 + 16\sqrt{3}$

$48$

$36 + 16\sqrt{2}$

Solución:

Considera el triángulo rectángulo isósceles que une el centro del círculo de radio $2$ con los centros de dos círculos pequeños adyacentes. Sus catetos tienen longitud $2 + 1 = 3,$ así que su hipotenusa es $3\sqrt2.$

El lado del cuadrado supera a esta hipotenusa en $2$ (un radio en cada extremo), así que $s = 2 + 3\sqrt2.$

El área es $\begin{aligned} (2 + 3\sqrt2)^2 &= 4 + 12\sqrt2 + 18 \\ &= 22 + 12\sqrt2. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Consider the isosceles right triangle joining the center of the radius- $2$ circle to the centers of two adjacent small circles. Its legs have length $2 + 1 = 3,$ so its hypotenuse is $3\sqrt2.$

The side of the square exceeds this hypotenuse by $2$ (one radius on each end), so $s = 2 + 3\sqrt2.$

The area is $\begin{aligned} (2 + 3\sqrt2)^2 &= 4 + 12\sqrt2 + 18 \\ &= 22 + 12\sqrt2. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

2007 AMC 10A Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años