Question

Dos círculos de radio

5

son tangentes externamente entre sí y tangentes internamente a un círculo de radio

13

en los puntos

A

y

B,

como se muestra en el diagrama. La distancia

AB

puede escribirse en la forma

\frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuál es

m+n

?

Two circles of radius

5

are externally tangent to each other and are internally tangent to a circle of radius

13

at points

A

and

B,

as shown in the diagram. The distance

AB

can be written in the form

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. What is

m+n?

21

29

58

69

93

Respuesta: D

Conceptos:circunferencias tangentes semejanza

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Une los centros de los tres círculos.

Join the three circle centers

Pista grande:

El triángulo que pasa por los puntos de tangencia es semejante al triángulo que pasa por los centros.

The triangle through tangent points is similar to the triangle through centers

Solución:

Sea

X

el centro del círculo grande y sean

Y,Z

los centros de los dos círculos más pequeños. Entonces

XY=XZ=13-5=8

y

YZ=10

.

Los radios a los puntos de tangencia hacen que

XA

sea colineal con

XY

y

XB

colineal con

XZ

, así que

\triangle XAB\sim \triangle XYZ

. Por lo tanto

\dfrac{AB}{YZ}=\dfrac{XA}{XY}=\dfrac{13}{8}

.

Entonces

AB=10\cdot\dfrac{13}{8}=\dfrac{65}{4}

, de modo que

m+n=65+4=69

. Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let

X

be the center of the large circle and let

Y,Z

be the centers of the two smaller circles. Then

XY=XZ=13-5=8

and

YZ=10

.

The radii to tangent points make

XA

collinear with

XY

and

XB

collinear with

XZ

, so

\triangle XAB\sim \triangle XYZ

. Thus

\dfrac{AB}{YZ}=\dfrac{XA}{XY}=\dfrac{13}{8}

.

Hence

AB=10\cdot\dfrac{13}{8}=\dfrac{65}{4}

, so

m+n=65+4=69

. Thus, D is the correct answer.

2018 AMC 10A Problema 15

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años