Question

Dos círculos de radio $5$ son tangentes externamente entre sí y tangentes internamente a un círculo de radio $13$ en los puntos $A$ y $B,$ como se muestra en el diagrama. La distancia $AB$ puede escribirse en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuál es $m+n$ ?

Two circles of radius $5$ are externally tangent to each other and are internally tangent to a circle of radius $13$ at points $A$ and $B,$ as shown in the diagram. The distance $AB$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n?$

$21$

$29$

$58$

$69$

$93$

Solución:

Sea $X$ el centro del círculo grande y sean $Y,Z$ los centros de los dos círculos más pequeños. Entonces $XY=XZ=13-5=8$ y $YZ=10$ .

Los radios a los puntos de tangencia hacen que $XA$ sea colineal con $XY$ y $XB$ colineal con $XZ$ , así que $\triangle XAB\sim \triangle XYZ$ . Por lo tanto $\dfrac{AB}{YZ}=\dfrac{XA}{XY}=\dfrac{13}{8}$ .

Entonces $AB=10\cdot\dfrac{13}{8}=\dfrac{65}{4}$ , de modo que $m+n=65+4=69$ . Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $X$ be the center of the large circle and let $Y,Z$ be the centers of the two smaller circles. Then $XY=XZ=13-5=8$ and $YZ=10$ .

The radii to tangent points make $XA$ collinear with $XY$ and $XB$ collinear with $XZ$ , so $\triangle XAB\sim \triangle XYZ$ . Thus $\dfrac{AB}{YZ}=\dfrac{XA}{XY}=\dfrac{13}{8}$ .

Hence $AB=10\cdot\dfrac{13}{8}=\dfrac{65}{4}$ , so $m+n=65+4=69$ . Thus, D is the correct answer.

2018 AMC 10A Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años