Soluciones del 2016 AMC 10B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de $\dfrac{2a^{-1}+\frac{a^{-1}}{2}}{a}$ cuando $a= \tfrac{1}{2}$ ?

What is the value of $\dfrac{2a^{-1}+\frac{a^{-1}}{2}}{a}$ when $a= \tfrac{1}{2}?$

$\ 1$

$\ 2$

$\ \dfrac{5}{2}$

$\ 10$

$\ 20$

Conceptos:exponente sustitución

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Sustituye $a=\frac{1}{2}$ después de combinar las potencias de $a$ .

Substitute $a=\frac{1}{2}$ after combining powers of $a$

Pista grande:

Dividir entre $a$ convierte $a^{-1}$ en $a^{-2}$ .

Dividing by $a$ turns $a^{-1}$ into $a^{-2}$

Solución:

La expresión es equivalente a $2a^{-2}+\frac{a^{-2}}{2} = 2.5 (a^{-1})^2.$ Entonces $a^{-1}$ es igual a $\dfrac{1}{\frac 12} = 2,$ por lo que nuestra expresión es igual a $2.5\cdot 2^2 = 10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The expression is equivalent to $2a^{-2}+\frac{a^{-2}}{2} = 2.5 (a^{-1})^2.$ Then $a^{-1}$ is equal to $\dfrac{1}{\frac 12} = 2,$ so our expression is equal to $2.5\cdot 2^2 = 10.$

Thus, the correct answer is D .

2.

Si $n\heartsuit m=n^3m^2,$ ¿cuánto vale $\frac{2\heartsuit 4}{4\heartsuit 2}$ ?

If $n\heartsuit m=n^3m^2,$ what is $\frac{2\heartsuit 4}{4\heartsuit 2}?$

$\ \dfrac{1}{4}$

$\ \dfrac{1}{2}$

$\ 1$

$\ 2$

$\ 4$

Conceptos:operación personalizada exponente

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Calcula primero simbólicamente el cociente de la operación.

Compute the operation ratio symbolically first

Pista grande:

$\frac{n\heartsuit m}{m\heartsuit n}=\frac nm$ .

$\frac{n\heartsuit m}{m\heartsuit n}=\frac nm$

Solución:

Para cualesquiera dos números no nulos $a,b,$ tenemos $\dfrac{a\heartsuit b}{b\heartsuit a} = \dfrac{a^3b^2}{b^3 a^2} = \dfrac ab .$ Usando $a=2,b=4,$ obtenemos que $\frac{ 2}{4} = \frac 12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For any nonzero $a,b,$ we have $\dfrac{a\heartsuit b}{b\heartsuit a} = \dfrac{a^3b^2}{b^3 a^2} = \dfrac ab .$ Using $a=2,b=4,$ we get that $\frac{ 2}{4} = \frac 12.$

Thus, the correct answer is B .

3.

Sea $x=-2016.$ ¿Cuál es el valor de la siguiente expresión? $\Bigg\vert\Big\vert |x|-x\Big\vert-|x|\Bigg\vert-x?$

Let $x=-2016.$ What is the value of $\Bigg\vert\Big\vert |x|-x\Big\vert-|x|\Bigg\vert-x?$

$\ -2016$

$\ 0$

$\ 2016$

$\ 4032$

$\ 6048$

Conceptos:valor absoluto

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Para $x<0$ , $|x|=-x$ .

For $x<0$ , $|x|=-x$

Pista grande:

Evalúa los valores absolutos de adentro hacia afuera.

Evaluate the absolute values from the inside outward

Solución:

Como $x=-2016<0,$ tenemos $|x|=2016.$ Así, $\begin{aligned} |x|-x&=2016-(-2016) \\ &=4032, \end{aligned}$ de modo que el valor absoluto más interno es $4032.$ Por lo tanto, la expresión completa es $|4032-2016|+2016=4032.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $x=-2016<0,$ we have $|x|=2016.$ Thus $\begin{aligned} |x|-x&=2016-(-2016) \\ &=4032, \end{aligned}$ so the innermost absolute value is $4032.$ Therefore the full expression is $|4032-2016|+2016=4032.$

Thus, the correct answer is D .

4.

Zoey leyó $15$ libros, uno a la vez. El primer libro le tomó $1$ día, el segundo libro le tomó $2$ días, el tercer libro le tomó $3$ días, y así sucesivamente, tomándole cada libro $1$ día más que el anterior. Zoey terminó el primer libro un lunes y el segundo un miércoles. ¿Qué día de la semana terminó su libro número $15$ ?

Zoey read $15$ books, one at a time. The first book took her $1$ day to read, the second book took her $2$ days to read, the third book took her $3$ days to read, and so on, with each book taking her $1$ more day to read than the previous book. Zoey finished the first book on a Monday, and the second on a Wednesday. On what day of the week did she finish her $15$ th book?

domingo

Sunday

lunes

Monday

miércoles

Wednesday

viernes

Friday

sábado

Saturday

Conceptos:número triangular aritmética modular

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

El tiempo total de lectura es $1+2+\cdots+15$ .

The total reading time is $1+2+\cdots+15$

Pista grande:

Compara el día en que termina el libro $15$ con el día en que termina el libro $1$ módulo $7$ .

Compare the finish day of book $15$ with the finish day of book $1$ modulo $7$

Solución:

El número de días que toma leer $15$ libros es $\dfrac{ 15\cdot 16}{2} =120.$ Por lo tanto, es $120-1=119$ días después de que se lee el primer libro. Esto es un múltiplo de $7,$ así que el libro número $15$ se terminó el mismo día que el libro número $1.$ Por consiguiente, se terminó un lunes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The number of days it takes to read $15$ books is $\dfrac{ 15\cdot 16}{2} =120.$ Therefore, it is $120-1=119$ days after the first book is read. This is a multiple of $7,$ so the $15$ th book was finished on the same day as the $1$ st book. Therefore, it was finished on a Monday.

Thus, the correct answer is B .

5.

La edad promedio de los $4$ primos de Amanda es $8,$ y su edad mediana es $5.$ ¿Cuál es la suma de las edades del primo más joven y del primo mayor de Amanda?

The mean age of Amanda’s $4$ cousins is $8,$ and their median age is $5.$ What is the sum of the ages of Amanda’s youngest and oldest cousins?

$\ 13$

$\ 16$

$\ 19$

$\ 22$

$\ 25$

Conceptos:media mediana (datos)

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

La edad total es $4\cdot8$ .

The total age is $4\cdot8$

Pista grande:

Las dos edades del medio suman $10$ .

The two middle ages sum to $10$

Solución:

El total de las edades de los cuatro primos es $4\cdot8=32$ . Como la mediana es $5$ , las dos edades del medio tienen promedio $5$ , así que su suma es $10$ .

Por lo tanto, las edades del más joven y del mayor suman $32-10=22$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The total of the four cousin ages is $4\cdot8=32$ . Since the median is $5$ , the two middle ages have average $5$ , so their sum is $10$ .

Therefore the youngest and oldest ages sum to $32-10=22$ .

Thus, the correct answer is D.

6.

Laura sumó dos enteros positivos de tres dígitos. Los seis dígitos de estos números son todos distintos. La suma de Laura es un número de tres dígitos $S.$ ¿Cuál es el menor valor posible de la suma de los dígitos de $S$ ?

Laura added two three-digit positive integers. All six digits in these numbers are different. Laura’s sum is a three-digit number $S.$ What is the smallest possible value for the sum of the digits of $S?$

$\ 1$

$\ 4$

$\ 5$

$\ 15$

$\ 21$

Conceptos:dígitos argumento extremal

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Muestra que una suma de dígitos menor que $4$ es imposible.

Show a digit sum below $4$ is impossible

Pista grande:

$157+243=400$ alcanza una suma de dígitos de $4$ .

$157+243=400$ reaches digit sum $4$

Solución:

Para minimizar la suma de los sumandos, usamos las dos menores cifras no nulas en las centenas, $1$ y $2$ , y luego las cuatro menores cifras restantes, $0,3,4,5$ . Colocar las cifras menores en las decenas muestra que toda suma posible es al menos $104+235=339$ . Por otra parte, todo número de tres cifras con suma de cifras menor que $4$ es como máximo $300$ . Por tanto, la suma de las cifras de $S$ es al menos $4$ .

El ejemplo $157+243=400$ usa seis cifras distintas y tiene suma de cifras $4$ . Así, la menor suma de cifras posible es $4$ .

Por tanto, la respuesta correcta es B.

To minimize the sum of the addends, use the two smallest nonzero hundreds digits, $1$ and $2$ , and then the four smallest remaining digits, $0,3,4,5$ . Placing the smaller digits in the tens places shows that every possible sum is at least $104+235=339$ . On the other hand, any three-digit number with digit sum less than $4$ is at most $300$ . Therefore the digit sum of $S$ is at least $4$ .

The example $157+243=400$ uses six distinct digits and has digit sum $4$ . Thus the smallest possible digit sum is $4$ .

Thus, the correct answer is B.

7.

La razón de las medidas de dos ángulos agudos es $5:4,$ y el complemento de uno de estos dos ángulos es dos veces mayor que el complemento del otro. ¿Cuál es la suma de las medidas en grados de los dos ángulos?

The ratio of the measures of two acute angles is $5:4,$ and the complement of one of these two angles is twice as large as the complement of the other. What is the sum of the degree measures of the two angles?

$\ 75$

$\ 90$

$\ 135$

$\ 150$

$\ 270$

Conceptos:razón y proporción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Sea $x$ el menor de los ángulos agudos.

Let the smaller acute angle be $x$

Pista grande:

El ángulo mayor tiene el complemento menor.

The larger angle has the smaller complement

Solución:

Sea el ángulo menor $x.$ Entonces, el ángulo mayor es $\frac 54 x.$ Observa que su suma es $\frac 94 x.$

Sus complementos son entonces $90-x$ y $90 - \frac 54x.$ Como $90-x$ es mayor que $90-\frac 54 x,$ sabemos que $\begin{aligned}90 -x &= 2\left(90 - \frac 54 x\right) \\90-x&= 180-\frac 52 x\\x&=60.\end{aligned}$

Por lo tanto, la suma es $\dfrac 94 \cdot 60=135.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the smaller angle be $x.$ Then, the larger angle is $\frac 54 x.$ Note that their sum is $\frac 94 x.$

Their complements are then $90-x$ and $90 - \frac 54x.$ Since $90-x$ is larger than $90-\frac 54 x,$ we know $\begin{aligned}90 -x &= 2\left(90 - \frac 54 x\right) \\90-x&= 180-\frac 52 x\\x&=60.\end{aligned}$

Therefore, the sum is $\dfrac 94 \cdot 60=135.$

Thus, the correct answer is C .

8.

¿Cuál es el dígito de las decenas de $2015^{2016}-2017$ ?

What is the tens digit of $2015^{2016}-2017?$

$\ 0$

$\ 1$

$\ 3$

$\ 5$

$\ 8$

Conceptos:aritmética modular Teorema chino del resto

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Trabaja módulo $100$ para obtener el dígito de las decenas.

Work modulo $100$ to get the tens digit

Pista grande:

Usa congruencias módulo $4$ y $25$ .

Use congruences modulo $4$ and $25$

Solución:

Para hallar el dígito de las decenas, primero necesitamos hallar el número módulo $100.$ Primero, podemos hallar $2015^{2016} \mod 100.$ Podemos hacerlo con el Teorema Chino del Resto obteniendo primero el número $\mod 4$ y luego $\mod 25.$

El número $2015^{2016} \equiv 0 \mod 25$ ya que es un múltiplo de $25.$

Luego, observa que $2015^{2016} \equiv (-1)^{2016}$ $\equiv 1 \mod 4 .$

Por el teorema chino del resto, podemos obtener que nuestro número es congruente con $25 \mod 100.$

Por lo tanto, $2015^{2016}-2017$ $\equiv 25 - 17 \mod 100$ $\equiv 8 \mod 100 .$ Esto significa que el dígito de las decenas es $0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

To find the tens digit, we first need to find the number modulo $100.$ First, we can find $2015^{2016} \mod 100.$ We can do this with the Chinese Remainder Theorem by first getting the number $\mod 4$ and then $\mod 25.$

The number $2015^{2016} \equiv 0 \mod 25$ since it is a multiple of $25.$

Then, observe that $2015^{2016} \equiv (-1)^{2016}$ $\equiv 1 \mod 4 .$

By the Chinese remainder theorem, we can get that our number is congruent to $25 \mod 100.$

Therefore, $2015^{2016}-2017$ $\equiv 25 - 17 \mod 100$ $\equiv 8 \mod 100 .$ This means the tens digit is $0.$

Thus, the correct answer is A .

9.

Los tres vértices del $\bigtriangleup ABC$ están sobre la parábola definida por $y=x^2,$ con $A$ en el origen y $\overline{BC}$ paralelo al eje $x$ . El área del triángulo es $64.$ ¿Cuál es la longitud de $BC$ ?

All three vertices of $\bigtriangleup ABC$ lie on the parabola defined by $y=x^2,$ with $A$ at the origin and $\overline{BC}$ parallel to the $x$ -axis. The area of the triangle is $64.$ What is the length of $BC?$

$\ 4$

$\ 6$

$\ 8$

$\ 10$

$\ 16$

Conceptos:parábola área del triángulo geometría analítica

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Usa los puntos simétricos $(-t,t^2)$ y $(t,t^2)$ .

Use symmetric points $(-t,t^2)$ and $(t,t^2)$

Pista grande:

El área del triángulo es $t^3$ .

The triangle area is $t^3$

Solución:

Sean los puntos $A=(0,0),$ $B=(x_1,y_1),$ $C=(x_2,y_2).$

Luego, como $BC$ es paralelo al eje $x$ , sabemos que $y_1=y_2,$ lo que llamaremos $y.$ Entonces, $x_1^2 = y=x_2^2,$ así que $x_1^2=x_2^2 .$ Esto implica que $x_1=-x_2$ o bien $x_1 = x_2.$ La segunda opción no puede ocurrir, ya que haría que dos puntos fueran iguales, lo que crearía un área de $0.$ Por ello, sea $x= -x_1=x_2.$ Entonces $y=x^2$ también.

Entonces, los puntos son $A=(0,0),$ $B=(-x,x^2),$ $C=(x,x^2).$ Con base $BC,$ la longitud es $2x$ y la altura es $x^2.$ Esto haría que el área fuera $x^3 = 64.$ Por lo tanto, $x=4,$ así que $BC = 2\cdot 4 = 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the points be $A=(0,0),$ $B=(x_1,y_1),$ $C=(x_2,y_2).$

Then, since $BC$ is parallel with the $x$ -axis, we know $y_1=y_2,$ which we will let be $y.$ Then, $x_1^2 = y=x_2^2,$ so $x_1^2=x_2^2 .$ This implies that either $x_1=-x_2$ or $x_1 = x_2.$ The second option cannot happen since that would set two points as the same, which would create an area of $0.$ As such, let $x= -x_1=x_2.$ Then $y=x^2$ also.

Then, the points are $A=(0,0),$ $B=(-x,x^2),$ $C=(x,x^2).$ With a base of $BC,$ the length is $2x$ and the height is $x^2.$ This would make the area $x^3 = 64.$ Therefore, $x=4,$ so $BC = 2\cdot 4 = 8.$

Thus, the correct answer is C .

10.

Una pieza delgada de madera de densidad uniforme con forma de triángulo equilátero de lado $3$ pulgadas pesa $12$ onzas. Una segunda pieza del mismo tipo de madera, con el mismo grosor, también con forma de triángulo equilátero, tiene lado de $5$ pulgadas. ¿Cuál de las siguientes opciones es la más cercana al peso, en onzas, de la segunda pieza?

A thin piece of wood of uniform density in the shape of an equilateral triangle with side length $3$ inches weighs $12$ ounces. A second piece of the same type of wood, with the same thickness, also in the shape of an equilateral triangle, has side length $5$ inches. Which of the following is closest to the weight, in ounces, of the second piece?

$\ 14.0$

$\ 16.0$

$\ 20.0$

$\ 33.3$

$\ 55.6$

Conceptos:semejanza escalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Los pesos escalan como las áreas porque el grosor y la densidad son fijos.

Weights scale like areas because thickness and density are fixed

Pista grande:

El factor de escala de la longitud del lado es $\frac{5}{3}$ .

The side-length scale factor is $\frac{5}{3}$

Solución:

El área de la superficie aumenta por un factor de $\frac 53 ^2$ ya que las longitudes de los lados aumentan por un factor de $\frac 53.$ Además, como el grosor es constante, el volumen se escala en esa misma proporción. Entonces, al tener la madera la misma densidad, el peso también aumenta por un factor de $\frac 53^2$ , de modo que el nuevo peso es $12 \cdot \dfrac {25}{9} = \dfrac{100}3.$ Esto es aproximadamente $33.3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The surface area is increased by a factor of $\frac 53 ^2$ since the side lengths are increased by a factor of $\frac 53.$ Also since the thickness is constant, the volume is scaled up by that much. Then, the wood having the same density makes the weight increase by a factor of $\frac 53^2$ as well, so the new weight is $12 \cdot \dfrac {25}{9} = \dfrac{100}3.$ This is approximately $33.3.$

Thus, the correct answer is D .

11.

Carl decidió cercar su jardín rectangular. Compró $20$ postes de cerca, colocó uno en cada una de las cuatro esquinas y distribuyó el resto de manera uniforme a lo largo de los bordes del jardín, dejando exactamente $4$ yardas entre postes vecinos. El lado más largo de su jardín, incluyendo las esquinas, tiene el doble de postes que el lado más corto, incluyendo las esquinas. ¿Cuál es el área, en yardas cuadradas, del jardín de Carl?

Carl decided to fence in his rectangular garden. He bought $20$ fence posts, placed one on each of the four corners, and spaced out the rest evenly along the edges of the garden, leaving exactly $4$ yards between neighboring posts. The longer side of his garden, including the corners, has twice as many posts as the shorter side, including the corners. What is the area, in square yards, of Carl’s garden?

$\ 256$

$\ 336$

$\ 384$

$\ 448$

$\ 512$

Conceptos:sistema de ecuaciones perímetro área conteo de postes

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Sean $s$ y $l$ los postes en los lados corto y largo, incluyendo las esquinas.

Let $s$ and $l$ be posts on the short and long sides, including corners

Pista grande:

Usa $l=2s$ y $2l+2s-4=20$ .

Use $l=2s$ and $2l+2s-4=20$

Solución:

Sea $l$ el número de postes en un lado largo, incluyendo las esquinas, y sea $s$ el número de postes en un lado corto, incluyendo las esquinas. El número total de postes es $2l+2s-4=20,$ donde el $-4$ evita contar dos veces las esquinas.

Como un lado largo tiene el doble de postes que un lado corto, $l=2s$ . Así $2(2s)+2s-4=20$ , por lo que $s=4$ y $l=8$ .

Hay $3$ espacios iguales en un lado corto y $7$ espacios iguales en un lado largo. Con $4$ yardas entre postes vecinos, las longitudes de los lados son $12$ y $28$ , así que el área es $12\cdot28=336$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $l$ be the number of posts on a long side, including corners, and let $s$ be the number of posts on a short side, including corners. The total number of posts is $2l+2s-4=20,$ where the $-4$ avoids double-counting the corners.

Since a long side has twice as many posts as a short side, $l=2s$ . Thus $2(2s)+2s-4=20$ , so $s=4$ and $l=8$ .

There are $3$ equal gaps on a short side and $7$ equal gaps on a long side. With $4$ yards between neighboring posts, the side lengths are $12$ and $28$ , so the area is $12\cdot28=336$ .

Thus, the correct answer is B.

12.

Se seleccionan al azar dos números diferentes de $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ y se multiplican. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto sea par?

Two different numbers are selected at random from $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ and multiplied together. What is the probability that the product is even?

$\ 0.2$

$\ 0.4$

$\ 0.5$

$\ 0.7$

$\ 0.8$

Conceptos:probabilidad básica conteo complementario paridad

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Cuenta en su lugar los pares con producto impar.

Count the odd-product pairs instead

Pista grande:

Hay $\binom32$ pares impares de un total de $\binom52$ pares.

There are $\binom32$ odd pairs out of $\binom52$ pairs

Solución:

El producto es impar si y solo si ambos números son impares. Hay $\binom 32=3$ maneras de lograrlo de un total posible de $\binom 52=10$ maneras. Esto hace que la probabilidad de que sea impar sea igual a $\frac 3{10} = 0.3.$ Esto significa que la probabilidad de que sea par es $1-0.3=0.7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The product is odd if and only if both numbers are odd. There are $\binom 32=3$ ways to do this out of a possible $\binom 52=10$ ways. This makes the probability of it being odd equal to $\frac 3{10} = 0.3.$ This means the probability it is even is $1-0.3=0.7.$

Thus, the correct answer is D .

13.

En el Hospital Megapolis, en cierto año, las estadísticas de partos múltiples fueron las siguientes: los conjuntos de gemelos, trillizos y cuatrillizos sumaron $1000$ de los bebés nacidos. Hubo cuatro veces más conjuntos de trillizos que de cuatrillizos, y hubo tres veces más conjuntos de gemelos que de trillizos. ¿Cuántos de estos $1000$ bebés estaban en conjuntos de cuatrillizos?

At Megapolis Hospital one year, multiple-birth statistics were as follows: Sets of twins, triplets, and quadruplets accounted for $1000$ of the babies born. There were four times as many sets of triplets as sets of quadruplets, and there were three times as many sets of twins as sets of triplets. How many of these $1000$ babies were in sets of quadruplets?

$\ 25$

$\ 40$

$\ 64$

$\ 100$

$\ 160$

Conceptos:sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Sean $w,r,q$ los números de conjuntos de gemelos, trillizos y cuatrillizos.

Let $w,r,q$ be the numbers of twin, triplet, and quadruplet sets

Pista grande:

Usa $r=4q$ y $w=3r$ .

Use $r=4q$ and $w=3r$

Solución:

Sean $w,r,q$ los números de conjuntos de gemelos, trillizos y cuatrillizos. Entonces $2w+3r+4q=1000.$ El enunciado da $r=4q$ y $w=3r=12q$ .

Sustituyendo se obtiene $2(12q)+3(4q)+4q$ $=40q=1000$ , así que $q=25$ . El número de bebés en conjuntos de cuatrillizos es $4q=100$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $w,r,q$ be the numbers of sets of twins, triplets, and quadruplets. Then $2w+3r+4q=1000.$ The statement gives $r=4q$ and $w=3r=12q$ .

Substituting gives $2(12q)+3(4q)+4q$ $=40q=1000$ , so $q=25$ . The number of babies in sets of quadruplets is $4q=100$ .

Thus, the correct answer is D.

14.

¿Cuántos cuadrados cuyos lados son paralelos a los ejes y cuyos vértices tienen coordenadas enteras están completamente dentro de la región limitada por la recta $y=\pi x,$ la recta $y=-0.1$ y la recta $x=5.1$ ?

How many squares whose sides are parallel to the axes and whose vertices have coordinates that are integers lie entirely within the region bounded by the line $y=\pi x,$ the line $y=-0.1$ and the line $x=5.1?$

$\ 30$

$\ 41$

$\ 45$

$\ 50$

$\ 57$

Conceptos:punto reticular conteo de figuras en diagramas análisis por casos

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Para cada tamaño de cuadrado, cuenta los posibles puntos reticulares de la esquina superior izquierda.

For each square size, count possible top-left lattice points

Pista grande:

Solo caben los lados de longitud $1,2,3$ .

Only side lengths $1,2,3$ can fit

Solución:

Un cuadrado debe estar por encima de $y=-0.1$ , a la izquierda de $x=5.1$ y por debajo de $y=\pi x$ . Como $\pi$ es un poco más que $3$ , las alturas reticulares disponibles en $x=1,2,3,4$ son $3,6,9,12$ , y los lados de longitud mayor que $3$ no caben.

Cuenta por longitud de lado usando el punto reticular superior izquierdo. Para el lado de longitud $1$ , hay $3+6+9+12=30$ opciones. Para el lado de longitud $2$ , hay $2+5+8=15$ opciones. Para el lado de longitud $3$ , hay $1+4=5$ opciones.

El total es $30+15+5=50$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A square must lie above $y=-0.1$ , to the left of $x=5.1$ , and below $y=\pi x$ . Since $\pi$ is a little more than $3$ , the lattice heights available at $x=1,2,3,4$ are $3,6,9,12$ , and side lengths larger than $3$ cannot fit.

Count by side length using the top-left lattice point. For side length $1$ , there are $3+6+9+12=30$ choices. For side length $2$ , there are $2+5+8=15$ choices. For side length $3$ , there are $1+4=5$ choices.

The total is $30+15+5=50$ .

Thus, the correct answer is D.

15.

Todos los números $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9$ se escriben en un arreglo de casillas $3\times3$ , un número en cada casilla, de tal manera que si dos números son consecutivos entonces ocupan casillas que comparten un lado. Los números en las cuatro esquinas suman $18.$ ¿Cuál es el número en el centro?

All the numbers $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9$ are written in a $3\times3$ array of squares, one number in each square, in such a way that if two numbers are consecutive then they occupy squares that share an edge. The numbers in the four corners add up to $18.$ What is the number in the center?

$\ 5$

$\ 6$

$\ 7$

$\ 8$

$\ 9$

Conceptos:paridad deducción lógica

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Los números consecutivos adyacentes tienen paridad opuesta.

Adjacent consecutive numbers have opposite parity

Pista grande:

El centro y las cuatro esquinas deben tener todos la misma paridad.

The center and four corners must all have the same parity

Solución:

Coloreemos el arreglo como un tablero de ajedrez, con el centro y las cuatro esquinas de un color y los cuatro cuadrados laterales del otro. Los números consecutivos ocupan cuadrados adyacentes, por lo que el camino $1,2,\ldots,9$ alterna colores. Así, los cinco números impares ocupan una clase de color y los cuatro pares, la otra.

La clase formada por el centro y las cuatro esquinas tiene cinco cuadrados, así que contiene los cinco números impares. Por tanto, la suma de las esquinas y el centro es $1+3+5+7+9=25.$

Como las esquinas suman $18,$ el centro vale $25-18=7.$

Así, la respuesta correcta es C.

Color the array like a checkerboard, with the center and four corners one color and the four edge squares the other color. Consecutive numbers occupy adjacent squares, so the path $1,2,\ldots,9$ alternates colors. Therefore all five odd numbers occupy one color class and all four even numbers occupy the other.

The color class consisting of the center and four corners has five squares, so it contains the five odd numbers. Hence the sum of the corners and center is $1+3+5+7+9=25.$

Since the corners have a sum of $18,$ the center has a value of $25-18=7.$

Thus, the correct answer is C .

16.

La suma de una serie geométrica infinita es un número positivo $S,$ y el segundo término de la serie es $1.$ ¿Cuál es el menor valor posible de $S$ ?

The sum of an infinite geometric series is a positive number $S,$ and the second term in the series is $1.$ What is the smallest possible value of $S?$

$\ \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

$\ 2$

$\ \sqrt{5}$

$\ 3$

$\ 4$

Conceptos:sucesión geométrica completar el cuadrado optimización

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Escribe el primer término como $a$ y la razón común como $r$ .

Write the first term as $a$ and common ratio as $r$

Pista grande:

La condición $ar=1$ hace que $S=\frac{1}{r(1-r)}$ .

The condition $ar=1$ makes $S=\frac{1}{r(1-r)}$

Solución:

Sea el primer valor de la serie $a,$ y sea la razón $r.$ Así, $\begin{aligned}S&=\dfrac{a}{1-r}\\ &= \dfrac{ar}{r(1-r)} \\&= \dfrac{1}{r(1-r)}.\end{aligned}$ Esto significa que tenemos que hallar el $r$ que maximiza $r(1-r)= 0.25-(r-0.5)^2.$ Esta maximización ocurrirá con $r=0.5.$

Por lo tanto, $S = \dfrac{1}{0.5(0.5)}= 4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the first value of the series be $a,$ and let the ratio be $r.$ Thus, $\begin{aligned}S&=\dfrac{a}{1-r}\\ &= \dfrac{ar}{r(1-r)} \\&= \dfrac{1}{r(1-r)}.\end{aligned}$ This means we have to find $r$ that maximizes $r(1-r)= 0.25-(r-0.5)^2.$ This maximization will happen with $r=0.5.$

Therefore, $S = \dfrac{1}{0.5(0.5)}= 4.$

Thus, the correct answer is E .

17.

Todos los números $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7$ se asignan a las seis caras de un cubo, un número a cada cara. Para cada uno de los ocho vértices del cubo, se calcula un producto de tres números, donde los tres números son los asignados a las tres caras que incluyen ese vértice. ¿Cuál es el mayor valor posible de la suma de estos ocho productos?

All the numbers $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7$ are assigned to the six faces of a cube, one number to each face. For each of the eight vertices of the cube, a product of three numbers is computed, where the three numbers are the numbers assigned to the three faces that include that vertex. What is the greatest possible value of the sum of these eight products?

$\ 312$

$\ 343$

$\ 625$

$\ 729$

$\ 1680$

Conceptos:geometría del cubo optimización Desigualdad MA-MG

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Empareja las caras opuestas del cubo.

Pair opposite faces of the cube

Pista grande:

Maximiza $(a_1+a_2)(b_1+b_2)(c_1+c_2)$ .

Maximize $(a_1+a_2)(b_1+b_2)(c_1+c_2)$

Solución:

Empareja las caras opuestas como $(a_1,a_2)$ , $(b_1,b_2)$ y $(c_1,c_2)$ . Cada producto de vértice usa un número de cada par, así que la suma de los ocho productos de vértice es $(a_1+a_2)(b_1+b_2)(c_1+c_2).$

Las seis etiquetas de las caras suman $2+3+4+5+6+7=27$ , así que las tres sumas de pares opuestos tienen un total de $27$ . Su producto se maximiza cuando las sumas son lo más iguales posible, es decir $9,9,9$ , dando como máximo $9^3=729$ .

Este máximo se alcanza emparejando $2$ con $7$ , $3$ con $6$ y $4$ con $5$ . Por lo tanto, la mayor suma posible es $729$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Pair opposite faces as $(a_1,a_2)$ , $(b_1,b_2)$ , and $(c_1,c_2)$ . Each vertex product uses one number from each pair, so the sum of all eight vertex products is $(a_1+a_2)(b_1+b_2)(c_1+c_2).$

The six face labels sum to $2+3+4+5+6+7=27$ , so the three opposite-pair sums have total $27$ . Their product is maximized when the sums are as equal as possible, namely $9,9,9$ , giving at most $9^3=729$ .

This maximum is attainable by pairing $2$ with $7$ , $3$ with $6$ , and $4$ with $5$ . Hence the greatest possible sum is $729$ .

Thus, the correct answer is D.

18.

¿De cuántas maneras se puede escribir $345$ como la suma de una sucesión creciente de dos o más enteros positivos consecutivos?

In how many ways can $345$ be written as the sum of an increasing sequence of two or more consecutive positive integers?

$\ 1$

$\ 3$

$\ 5$

$\ 6$

$\ 7$

Conceptos:sucesión aritmética conteo de factores

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Si la longitud es $s$ , entonces $s(2x+s-1)=690$ .

If the length is $s$ , then $s(2x+s-1)=690$

Pista grande:

Revisa las longitudes que son factores y que dan un entero positivo $x$ .

Check factor lengths that give positive integer $x$

Solución:

Supongamos que la sucesión tiene longitud $s$ y primer término $x$ . Entonces $345=s\left(x+\frac{s-1}{2}\right),$ o bien $s(2x+s-1)=690.$

Así, $s$ debe ser un divisor de $690$ , con $x=\frac{\frac{690}{s}-s+1}{2}$ un entero positivo. Al revisar las posibles longitudes divisoras se obtiene $s=2,3,5,6,10,15,23.$ Estas son las únicas longitudes que mantienen $x$ positivo y entero.

Por lo tanto, hay $7$ representaciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Suppose the sequence has length $s$ and first term $x$ . Then $345=s\left(x+\frac{s-1}{2}\right),$ or $s(2x+s-1)=690.$

Thus $s$ must be a divisor of $690$ , with $x=\frac{\frac{690}{s}-s+1}{2}$ a positive integer. Checking the possible divisor lengths gives $s=2,3,5,6,10,15,23.$ These are the only lengths that keep $x$ positive and integral.

Therefore there are $7$ representations.

Thus, the correct answer is E.

19.

El rectángulo $ABCD$ tiene $AB=5$ y $BC=4.$ El punto $E$ está en $\overline{AB}$ de modo que $EB=1,$ el punto $G$ está en $\overline{BC}$ de modo que $CG=1,$ y el punto $F$ está en $\overline{CD}$ de modo que $DF=2.$ Los segmentos $\overline{AG}$ y $\overline{AC}$ cortan a $\overline{EF}$ en $Q$ y $P,$ respectivamente. ¿Cuál es el valor de $\dfrac{PQ}{EF}$ ?

Rectangle $ABCD$ has $AB=5$ and $BC=4.$ Point $E$ lies on $\overline{AB}$ so that $EB=1,$ point $G$ lies on $\overline{BC}$ so that $CG=1,$ and point $F$ lies on $\overline{CD}$ so that $DF=2.$ Segments $\overline{AG}$ and $\overline{AC}$ intersect $\overline{EF}$ at $Q$ and $P,$ respectively. What is the value of $\dfrac{PQ}{EF}?$

$~\dfrac{\sqrt{3}}{16}$

$~\dfrac{\sqrt{2}}{13}$

$~\dfrac{9}{82}$

$~\dfrac{10}{91}$

$~\dfrac19$

Conceptos:semejanza rectas paralelas rectángulo

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Primero halla dónde $AC$ y $AG$ cortan a $EF$ .

First find where $AC$ and $AG$ cut $EF$

Pista grande:

Usa triángulos semejantes para expresar $\frac{PF}{EF}$ y $\frac{QF}{EF}$ .

Use similar triangles to express $\frac{PF}{EF}$ and $\frac{QF}{EF}$

Solución:

Tenemos $AE=AB-EB=4$ y $FC=DC-DF=3.$ Como $AE\parallel FC,$ los triángulos $AEP$ y $CFP$ son semejantes. Por tanto, $\frac{PF}{PE}=\frac{FC}{AE}=\frac34,$ así que $\frac{PF}{EF}=\frac37.$

Prolonguemos $AG$ hasta que corte a la recta $CD$ en $X.$ Como $BG=3,$ la semejanza da $\frac{AD}{DX}=\frac{BG}{AB},\qquad \frac4{DX}=\frac35,$ y por tanto $DX=\frac{20}{3}$ . Así, $FX=DX-DF=\frac{14}{3}.$ Como $AE\parallel FX,$ los triángulos $AEQ$ y $XFQ$ son semejantes, por lo que $\frac{QF}{QE}=\frac{FX}{AE}=\frac76.$ En consecuencia, $\frac{QF}{EF}=\frac7{13}.$

Se sigue que $\begin{aligned} \frac{PQ}{EF}&=\frac{QF}{EF}-\frac{PF}{EF} \\ &=\frac7{13}-\frac37=\frac{10}{91}. \end{aligned}$

Por tanto, la respuesta correcta es D.

We have $AE=AB-EB=4$ and $FC=DC-DF=3.$ Since $AE\parallel FC,$ the triangles $AEP$ and $CFP$ are similar. Therefore $\frac{PF}{PE}=\frac{FC}{AE}=\frac34,$ so $\frac{PF}{EF}=\frac37.$

Extend $AG$ to meet line $CD$ at $X.$ Because $BG=3,$ similarity gives $\frac{AD}{DX}=\frac{BG}{AB},\qquad \frac4{DX}=\frac35,$ and hence $DX=\frac{20}{3}$ . Thus $FX=DX-DF=\frac{14}{3}.$ Since $AE\parallel FX,$ triangles $AEQ$ and $XFQ$ are similar, so $\frac{QF}{QE}=\frac{FX}{AE}=\frac76.$ Consequently $\frac{QF}{EF}=\frac7{13}.$

It follows that $\begin{aligned} \frac{PQ}{EF}&=\frac{QF}{EF}-\frac{PF}{EF} \\ &=\frac7{13}-\frac37=\frac{10}{91}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D .

20.

Una homotecia del plano, es decir, una transformación de tamaño con factor de escala positivo, envía el círculo de radio $2$ con centro en $A(2,2)$ al círculo de radio $3$ con centro en $A'(5,6).$ ¿Qué distancia se mueve el origen $O(0,0),$ bajo esta transformación?

A dilation of the plane—that is, a size transformation with a positive scale factor—sends the circle of radius $2$ centered at $A(2,2)$ to the circle of radius $3$ centered at $A'(5,6).$ What distance does the origin $O(0,0),$ move under this transformation?

$\ 0$

$\ 3$

$\ \sqrt{13}$

$\ 4$

$\ 5$

Conceptos:homotecia geometría analítica vector

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

El factor de escala de la homotecia es $\frac{3}{2}$ .

The dilation scale factor is $\frac{3}{2}$

Pista grande:

El centro de la homotecia está sobre la recta que pasa por los dos centros de los círculos.

The center of dilation lies on the line through the two circle centers

Solución:

El factor de escala de la homotecia es $\frac32$ , pues el radio cambia de $2$ a $3$ . El centro de la homotecia $C$ está sobre la recta que pasa por $A(2,2)$ y $A'(5,6)$ .

El vector de $A$ a $A'$ es $(3,4)$ . Si $C$ es el centro de la homotecia, entonces el factor de escala da $A'-A=\frac12(A-C).$ Por tanto, $A-C=2(3,4)$ , y así $C=(2,2)-2(3,4)=(-4,-6).$

Bajo una homotecia de factor $\frac32$ con centro en $C$ , cada punto se desplaza la mitad de su distancia a $C$ . Como $CO=\sqrt{(-4)^2+(-6)^2}=\sqrt{52}$ , el origen se desplaza $\frac12\sqrt{52}=\sqrt{13}$ .

Así, la respuesta correcta es C.

The dilation scale factor is $\frac32$ , since the radius changes from $2$ to $3$ . The center of dilation $C$ lies on the line through $A(2,2)$ and $A'(5,6)$ .

The vector from $A$ to $A'$ is $(3,4)$ . If $C$ is the dilation center, then the scale factor gives $A'-A=\frac12(A-C).$ Thus $A-C=2(3,4)$ , so $C=(2,2)-2(3,4)=(-4,-6).$

Under a scale factor $\frac32$ dilation about $C$ , a point moves by half its distance from $C$ . Since $CO=\sqrt{(-4)^2+(-6)^2}=\sqrt{52}$ , the origin moves $\frac12\sqrt{52}=\sqrt{13}$ .

Thus, the correct answer is C.

21.

¿Cuál es el área de la región encerrada por la gráfica de la ecuación $x^2+y^2=|x|+|y|$ ?

What is the area of the region enclosed by the graph of the equation $x^2+y^2=|x|+|y|?$

$\ \pi+\sqrt{2}$

$\ \pi+2$

$\ \pi+2\sqrt{2}$

$\ 2\pi+\sqrt{2}$

$\ 2\pi+2\sqrt{2}$

Conceptos:valor absoluto círculo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Trabaja en un cuadrante y multiplica por $4$ .

Work in one quadrant and multiply by $4$

Pista grande:

La región del primer cuadrante es un triángulo más un semicírculo.

The first-quadrant region is a triangle plus a semicircle

Solución:

La ecuación es simétrica en los cuatro cuadrantes. En el primer cuadrante se convierte en $x^2+y^2=x+y,$ o bien $(x-\tfrac12)^2+(y-\tfrac12)^2=\tfrac12.$

En el primer cuadrante, la región encerrada es el triángulo bajo $x+y=1$ , con área $\frac12$ , más un semicírculo de radio $\sqrt{\frac{1}{2}}$ , con área $\frac\pi4$ .

Multiplicando por $4$ , el área total es $4\left(\frac12+\frac\pi4\right)=2+\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The equation is symmetric in all four quadrants. In the first quadrant it becomes $x^2+y^2=x+y,$ or $(x-\tfrac12)^2+(y-\tfrac12)^2=\tfrac12.$

In the first quadrant, the enclosed region is the triangle under $x+y=1$ , with area $\frac12$ , plus a semicircle of radius $\sqrt{\frac{1}{2}}$ , with area $\frac\pi4$ .

Multiplying by $4$ , the total area is $4\left(\frac12+\frac\pi4\right)=2+\pi.$

Thus, the correct answer is B.

22.

Un grupo de equipos disputó un torneo de todos contra todos en el que cada equipo jugó contra cada uno de los demás exactamente una vez. Cada equipo ganó $10$ juegos y perdió $10$ juegos; no hubo empates. ¿Cuántos conjuntos de tres equipos $\{A, B, C\}$ hubo en los que $A$ venció a $B,$ $B$ venció a $C,$ y $C$ venció a $A$ ?

A set of teams held a round-robin tournament in which every team played every other team exactly once. Every team won $10$ games and lost $10$ games; there were no ties. How many sets of three teams $\{A, B, C\}$ were there in which $A$ beat $B,$ $B$ beat $C,$ and $C$ beat $A?$

$\ 385$

$\ 665$

$\ 945$

$\ 1140$

$\ 1330$

Conceptos:teoría de grafos conteo complementario combinaciones

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Primero cuenta todos los conjuntos de tres equipos y luego resta los conjuntos sin ciclo de victorias.

Count all triples of teams, then subtract transitive triples

Pista grande:

Cada equipo, como equipo dominante, aparece en $\binom{10}{2}$ conjuntos transitivos de tres equipos.

Each team is the top team in $\binom{10}{2}$ transitive triples

Solución:

El número total de equipos es $10+10+1=21.$ Por lo tanto, el número total de ternas es $\binom{21}{3} = 1330.$

Ahora debemos restar las ternas que no contienen un ciclo. Esto ocurre exactamente cuando un equipo vence a los otros dos. Hay $21$ opciones para ese equipo y $\binom{10}{2} = 45$ maneras de elegir a los dos equipos que vence. Así, el número de ternas sin ciclo es $21\cdot 45=945.$ Por lo tanto, el número de ciclos es $1330-945=385.$

Así, la respuesta correcta es A.

The total number of teams is $10+10+1=21.$ The total number of sets is therefore $\binom{21}{3} = 1330.$

Now, we must subtract the total number of sets such that there is no cycle. This only happens if one team beats the other two teams. There are $21$ choices for the team that beat the other two and $\binom{10}{2} = 45$ ways to choose the teams they beat. Thus, the total of non-cycles is $21\cdot 45=945.$ This means the total number of cycles is $1330-945=385.$

Thus, the correct answer is A .

23.

En el hexágono regular $ABCDEF,$ se eligen los puntos $W,$ $X,$ $Y,$ $Z$ sobre los lados $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ $\overline{EF},$ $\overline{FA}$ respectivamente, de modo que las rectas $AB,$ $ZW,$ $YX,$ $ED$ sean paralelas y estén igualmente espaciadas. ¿Cuál es la razón entre el área del hexágono $WCXYFZ$ y el área del hexágono $ABCDEF$ ?

In regular hexagon $ABCDEF,$ points $W,$ $X,$ $Y,$ and $Z$ are chosen on sides $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ $\overline{EF},$ and $\overline{FA}$ respectively, so lines $AB,$ $ZW,$ $YX,$ and $ED$ are parallel and equally spaced. What is the ratio of the area of hexagon $WCXYFZ$ to the area of hexagon $ABCDEF?$

$\ \dfrac{1}{3}$

$\ \dfrac{10}{27}$

$\ \dfrac{11}{27}$

$\ \dfrac{4}{9}$

$\ \dfrac{13}{27}$

Conceptos:polígono regular razón de áreas semejanza

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Prolonga $\overline{FE}$ y $\overline{CD}$ hasta que se corten.

Extend $\overline{FE}$ and $\overline{CD}$ until they meet

Pista grande:

Compara las áreas de tres triángulos semejantes con vértice en el punto de corte.

Compare the areas of three similar triangles with vertex at the extension point

Solución:

Prolonguemos $\overline{FE}$ y $\overline{CD}$ hasta que se corten en $P.$

Sea $d$ la distancia entre $ZW$ y $FC.$ Como las cuatro rectas dadas están igualmente espaciadas y $FC$ está a mitad de camino entre $ZW$ y $YX,$ la distancia de $ED$ a $ZW$ es $2d.$ Sea $h$ la altura desde $P$ hasta $ED.$ Los triángulos equiláteros $PED$ y $PFC$ tienen lados en razón $1:2,$ así que sus alturas satisfacen $h+3d=2h,$ de donde $h=3d.$ Por lo tanto, la razón entre los lados de $PZW$ y $PED$ es $\frac{h+2d}{h}=\frac53.$

Tomando $[PED]=1,$ la semejanza da $[PZW]=\frac{25}{9}$ y $[PFC]=4.$ Entonces $\begin{aligned} [ZWCF]&=4-\frac{25}{9}=\frac{11}{9}, \\ [EDCF]&=4-1=3. \end{aligned}$ El hexágono buscado consta de dos copias congruentes de $ZWCF,$ mientras que el hexágono regular consta de dos copias congruentes de $EDCF.$ Por tanto, la razón pedida es $\frac{\frac{11}{9}}{3}=\frac{11}{27}.$

Así, la respuesta correcta es C.

Extend $\overline{FE}$ and $\overline{CD}$ until they meet at $P.$

Let $d$ be the distance between $ZW$ and $FC.$ Because the four given lines are equally spaced and $FC$ lies halfway between $ZW$ and $YX,$ the distance from $ED$ to $ZW$ is $2d.$ Let the altitude from $P$ to $ED$ be $h.$ The equilateral triangles $PED$ and $PFC$ have side lengths in the ratio $1:2,$ so their altitudes satisfy $h+3d=2h,$ giving $h=3d.$ Therefore the side-length ratio of $PZW$ to $PED$ is $\frac{h+2d}{h}=\frac53.$

Taking $[PED]=1,$ similarity gives $[PZW]=\frac{25}{9}$ and $[PFC]=4.$ Hence $\begin{aligned} [ZWCF]&=4-\frac{25}{9}=\frac{11}{9}, \\ [EDCF]&=4-1=3. \end{aligned}$ The desired hexagon consists of two congruent copies of $ZWCF,$ while the regular hexagon consists of two congruent copies of $EDCF.$ Thus the requested ratio is $\frac{\frac{11}{9}}{3}=\frac{11}{27}.$

Thus, the correct answer is C .

24.

¿Cuántos enteros de cuatro dígitos $abcd,$ con $a \neq 0,$ tienen la propiedad de que los tres enteros de dos dígitos $ab < bc < cd$ forman una sucesión aritmética creciente?

Uno de esos números es $4692,$ donde $a=4,$ $b=6,$ $c=9,$ y $d=2.$

How many four-digit positive integers $abcd,$ with $a \neq 0,$ have the property that the three two-digit integers $ab < bc < cd$ form an increasing arithmetic sequence?

One such number is $4692,$ where $a=4,$ $b=6,$ $c=9,$ and $d=2.$

$\ 9$

$\ 15$

$\ 16$

$\ 17$

$\ 20$

Conceptos:sucesión aritmética dígitos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

La condición de sucesión aritmética es $2bc=ab+cd$ .

The arithmetic-sequence condition is $2bc=ab+cd$

Pista grande:

La ecuación de los dígitos tiene dos posibles casos de acarreo.

The digit equation has two possible carry cases

Solución:

De $ab<bc<cd$ , obtenemos $a\le b\le c.$ La condición de sucesión aritmética es $\begin{aligned} 2(10b+c)&=(10a+b) \\ &\quad +(10c+d), \end{aligned}$ que se reorganiza como $10(a-2b+c)=-b+2c-d.$ El lado derecho es múltiplo de $10.$ Como $b\le c$ y los cuatro símbolos son dígitos con $b\ge1,$ ese lado está entre $-9$ y $17$ . Por tanto, es $0$ o $10.$

Caso $1:$ $\begin{aligned} -b+2c-d&=10, \\ a&=2b-c+1. \end{aligned}$

Examinamos los valores posibles de $c.$

$c=6:$ $b+d=2, 2b-5=a.$ La primera ecuación da $b\leq 2$ , pero la segunda no puede cumplirse.

$c=7:$ $b+d=4, 2b-6=a.$ La primera ecuación da $b\leq 4$ y la segunda, $b > 3$ . Esto deja un caso: $b=4.$

$c=8:$ $b+d=6, 2b-7=a.$ La primera ecuación da $b\leq 6$ y la segunda, $b > 3$ . Esto deja tres casos: $b=4,5,6.$

$c=9:$ $b+d=8, 2b-8=a.$ La primera ecuación da $b\leq 8$ y la segunda, $b > 4$ . Esto deja cuatro casos: $b=5,6,7,8.$ En total, este caso da los números $\begin{gathered} 2470,1482,3581,5680, \\ 2593,4692,6791,8890, \end{gathered}$ lo que da $8$ soluciones.

Caso $2:$ $-b+2c-d=0,$ $2b-a-c=0,$ lo que significa que los dígitos forman una sucesión aritmética.

Si la diferencia es $1,$ entonces $1 \leq a \leq 6$ , lo que da $6$ soluciones.

Si la diferencia es $2,$ entonces $1 \leq a \leq 3$ , lo que da $3$ soluciones. Una diferencia de al menos $3$ obligaría a que $d=a+3r>9.$ Así, este caso da $9$ soluciones.

En total, el número de soluciones es $8+9 = 17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

From $ab<bc<cd$ , we have $a\le b\le c.$ The arithmetic-sequence condition is $\begin{aligned} 2(10b+c)&=(10a+b) \\ &\quad +(10c+d), \end{aligned}$ which rearranges to $10(a-2b+c)=-b+2c-d.$ The right side is a multiple of $10.$ Because $b\le c$ and all four symbols are digits with $b\ge1,$ it lies between $-9$ and $17$ . Hence it is either $0$ or $10.$

Case $1:$ $\begin{aligned} -b+2c-d&=10, \\ a&=2b-c+1. \end{aligned}$

We can look at the possible values of $c.$

$c=6:$ $b+d=2, 2b-5=a.$ Thus, $b\leq 2$ from the first equation, but can’t work for the second equation.

$c=7:$ $b+d=4, 2b-6=a.$ Thus, $b\leq 4$ from the first equation, and $b > 3$ from the second equation. This makes one case for $b=4.$

$c=8:$ $b+d=6, 2b-7=a.$ Thus, $b\leq 6$ from the first equation, and $b > 3$ from the second equation. This makes three cases for $b=4,5,6.$

$c=9:$ $b+d=8, 2b-8=a.$ Thus, $b\leq 8$ from the first equation, and $b > 4$ from the second equation. This makes four cases for $b=5,6,7,8.$ Altogether this case gives $\begin{gathered} 2470,1482,3581,5680, \\ 2593,4692,6791,8890, \end{gathered}$ for $8$ solutions.

Case $2:$ $-b+2c-d=0,$ $2b-a-c=0,$ which means the digits are an arithmetic sequence.

If the difference is $1,$ then $1 \leq a \leq 6$ makes $6$ solutions.

If the difference is $2,$ then $1 \leq a \leq 3$ makes $3$ solutions. A difference of at least $3$ would force $d=a+3r>9.$ This case therefore gives $9$ solutions.

In total, the number of solutions is $8+9 = 17.$

Thus, the correct answer is D .

25.

Sea $f(x)=\sum_{k=2}^{10}(\lfloor kx \rfloor -k \lfloor x \rfloor),$ donde $\lfloor r \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $r.$ ¿Cuántos valores distintos toma $f(x)$ para $x \ge 0$ ?

Let $f(x)=\sum_{k=2}^{10}(\lfloor kx \rfloor -k \lfloor x \rfloor),$ where $\lfloor r \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $r.$ How many distinct values does $f(x)$ assume for $x \ge 0?$

$\ 32$

$\ 36$

$\ 45$

$\ 46$

$\ \text{infinitos}$

$\ \text{infinitely many}$

Conceptos:funciones piso y techo Función φ de Euler

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Solo importa la parte fraccionaria de $x$ .

Only the fractional part of $x$ matters

Pista grande:

Cuenta los puntos de corte distintos $\frac{i}{k}$ para $2\le k\le10$ .

Count distinct breakpoints $\frac{i}{k}$ for $2\le k\le10$

Solución:

Escribe $x=\lfloor x\rfloor+t$ , donde $0\le t\lt1$ . Entonces $\lfloor kx\rfloor-k\lfloor x\rfloor=\lfloor kt\rfloor,$ así que $f(x)$ depende solo de la parte fraccionaria $t$ .

El valor de $f$ cambia solo cuando $t$ cruza una fracción $\frac{i}{k}$ , donde $2\le k\le10$ y $1\le i\lt k$ . El número de tales fracciones distintas en $(0,1)$ es $\begin{aligned} &\varphi(2)+\varphi(3) \\ &\quad {}+\cdots+\varphi(10) \\ &=1+2+2+4+2 \\ &\quad {}+6+4+6+4 \\ &=31. \end{aligned}$

Incluyendo el valor inicial antes del primer punto de corte, $f$ toma $31+1=32$ valores distintos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Write $x=\lfloor x\rfloor+t$ , where $0\le t\lt1$ . Then $\lfloor kx\rfloor-k\lfloor x\rfloor=\lfloor kt\rfloor,$ so $f(x)$ depends only on the fractional part $t$ .

The value of $f$ changes only when $t$ crosses a fraction $\frac{i}{k}$ , where $2\le k\le10$ and $1\le i\lt k$ . The number of distinct such fractions in $(0,1)$ is $\begin{aligned} &\varphi(2)+\varphi(3) \\ &\quad {}+\cdots+\varphi(10) \\ &=1+2+2+4+2 \\ &\quad {}+6+4+6+4 \\ &=31. \end{aligned}$

Including the initial value before the first breakpoint, $f$ assumes $31+1=32$ distinct values.

Thus, the correct answer is A.