Question

Los puntos $A$ y $B$ están sobre una circunferencia centrada en $O,$ y $\angle AOB = 60^\circ.$ Una segunda circunferencia es internamente tangente a la primera y tangente tanto a $OA$ como a $OB.$ ¿Cuál es la razón entre el área de la circunferencia menor y la de la circunferencia mayor?

Points $A$ and $B$ lie on a circle centered at $O,$ and $\angle AOB = 60^\circ.$ A second circle is internally tangent to the first and tangent to both $OA$ and $OB.$ What is the ratio of the area of the smaller circle to that of the larger circle?

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

Solución:

Sean $r$ y $R$ los radios. El centro $E$ de la circunferencia pequeña está sobre la bisectriz de $\angle AOB,$ por lo que el ángulo hacia una recta tangente es $30^\circ.$

La perpendicular desde $E$ hasta $OA$ tiene longitud $r,$ y en el triángulo $30$ - $60$ - $90$ resultante $OE = 2r.$

Como $OE = R - r,$ obtenemos $2r = R - r,$ así que $R = 3r$ y la razón de áreas es $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}.$

Así, la respuesta correcta es B.

Let the radii be $r$ and $R.$ The small circle's center $E$ lies on the bisector of $\angle AOB,$ so the angle to a tangent line is $30^\circ.$

The perpendicular from $E$ to $OA$ has length $r,$ and in the resulting $30$ - $60$ - $90$ triangle $OE = 2r.$

Since $OE = R - r,$ we get $2r = R - r,$ so $R = 3r$ and the area ratio is $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}.$

Thus, the correct answer is B.

2008 AMC 10A Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años