Question

El triángulo no degenerado

\triangle ABC

tiene longitudes de lado enteras,

\overline{BD}

es una bisectriz de ángulo,

AD = 3,

y

DC = 8.

¿Cuál es el menor valor posible del perímetro?

Nondegenerate

\triangle ABC

has integer side lengths,

\overline{BD}

is an angle bisector,

AD = 3,

and

DC = 8.

What is the smallest possible value of the perimeter?

30

33

35

36

37

Respuesta: B

Conceptos:teorema de la bisectriz desigualdad triangular optimización

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Usa el Teorema de la Bisectriz.

Use the Angle Bisector Theorem

Pista grande:

AB:BC=3:8

, y

AC=11

.

AB:BC=3:8

, and

AC=11

Solución:

Usando el Teorema de la Bisectriz, tenemos que

\dfrac{AB}{3} = \dfrac{BC}{8}

AB = \dfrac{3}{8} BC.

Para que

AB

y

BC

sean enteros, debemos tener que

BC

sea múltiplo de

8.

Para minimizar el perímetro, podemos poner

BC = 8

y

AB = 3.

Sin embargo, esto hace que el triángulo sea degenerado.

Entonces

BC

debe ser

16

y

AB = 6.

Como

AC = AD + DC = 11,

el perímetro es

16 + 6 + 11 = 33.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Using the Angle Bisector Theorem, we have that

\dfrac{AB}{3} = \dfrac{BC}{8}

AB = \dfrac{3}{8} BC.

For

AB

and

BC

to be integers, we must have that

BC

is a multiple of

8.

To minimize the perimeter, we can set

BC = 8

and

AB = 3.

This, however, makes the triangle degenerate.

BC

must then be

16

and

AB = 6.

Since

AC = AD + DC = 11,

the perimeter is

16 + 6 + 11 = 33.

Thus, B is the correct answer.

2010 AMC 10A Problema 16

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 16 en otros años