Question

Una caja rectangular $\mathcal{P}$ tiene longitudes de arista distintas $a,$ $b,$ y $c.$ La suma de las longitudes de las $12$ aristas de $\mathcal{P}$ es $13,$ la suma de las áreas de las $6$ caras de $\mathcal{P}$ es $\frac{11}{2},$ y el volumen de $\mathcal{P}$ es $\frac{1}{2}.$ ¿Cuál es la longitud de la diagonal interior más larga que une dos vértices de $\mathcal{P}$ ?

A rectangular box $\mathcal{P}$ has distinct edge lengths $a,$ $b,$ and $c.$ The sum of the lengths of all $12$ edges of $\mathcal{P}$ is $13,$ the sum of the areas of all $6$ faces of $\mathcal{P}$ is $\frac{11}{2},$ and the volume of $\mathcal{P}$ is $\frac{1}{2}.$ What is the length of the longest interior diagonal connecting two vertices of $\mathcal{P}?$

$2$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{9}{8}$

$\dfrac{9}{4}$

$\dfrac{3}{2}$

Solución:

Las $12$ aristas dan $4(a + b + c) = 13,$ así que $a + b + c = \frac{13}{4}.$ Las $6$ caras dan $2(ab + bc + ca) = \frac{11}{2},$ así que $ab + bc + ca = \frac{11}{4}.$ La diagonal espacial es $\begin{gathered} \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \\ = \small \sqrt{(a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)} \\ = \sqrt{\frac{169}{16} - \frac{11}{2}} \\ = \sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{9}{4}. \end{gathered}$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The $12$ edges give $4(a + b + c) = 13,$ so $a + b + c = \frac{13}{4}.$ The $6$ faces give $2(ab + bc + ca) = \frac{11}{2},$ so $ab + bc + ca = \frac{11}{4}.$ The space diagonal is $\begin{gathered} \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \\ = \small \sqrt{(a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)} \\ = \sqrt{\frac{169}{16} - \frac{11}{2}} \\ = \sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{9}{4}. \end{gathered}$ Thus, D is the correct answer.

2023 AMC 10B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años