Question

Dos equipos disputan una serie al mejor de tres: los equipos jugarán a lo más $3$ partidos, y el ganador de la serie es el primer equipo en ganar $2$ partidos. El primer partido se juega en el campo local del Equipo A, y los partidos restantes se juegan en el campo local del Equipo B. El Equipo A tiene una probabilidad de $\tfrac23$ de ganar en casa, y su probabilidad de ganar jugando fuera de casa es $p.$ Los resultados de los partidos son independientes. La probabilidad de que el Equipo A gane la serie es $\tfrac12.$ Entonces $p$ puede escribirse en la forma $\tfrac12\!\left(m - \sqrt{n}\right),$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

Two teams are in a best-two-out-of-three playoff: the teams will play at most $3$ games, and the winner of the playoff is the first team to win $2$ games. The first game is played on Team A's home field, and the remaining games are played on Team B's home field. Team A has a $\tfrac23$ chance of winning at home, and its probability of winning when playing away from home is $p.$ Outcomes of the games are independent. The probability that Team A wins the playoff is $\tfrac12.$ Then $p$ can be written in the form $\tfrac12\!\left(m - \sqrt{n}\right),$ where $m$ and $n$ are positive integers. What is $m + n?$

$10$

$11$

$12$

$13$

$14$

Solución:

El Equipo A gana el partido $1$ en casa con probabilidad $\tfrac23,$ y cada partido de visitante con probabilidad $p.$ Puede ganar la serie de tres maneras disjuntas: ganar los partidos $1, 2;$ ganar $1,$ perder $2,$ ganar $3;$ perder $1,$ ganar $2, 3.$ Sumando esas, $\tfrac23 p + \tfrac23(1 - p)p + \tfrac13 p^2 = \tfrac12.$ Esto se simplifica a $2p^2 - 8p + 3 = 0,$ así que $p = \tfrac{4 - \sqrt{10}}{2} = \tfrac12\!\left(4 - \sqrt{10}\right).$ Entonces $m = 4,$ $n = 10,$ y $m + n = 14.$ Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Team A takes game $1$ at home with probability $\tfrac23,$ and each away game with probability $p.$ It can win the playoff three disjoint ways: win games $1, 2;$ win $1,$ lose $2,$ win $3;$ lose $1,$ win $2, 3.$ Adding those, $\tfrac23 p + \tfrac23(1 - p)p + \tfrac13 p^2 = \tfrac12.$ This cleans up to $2p^2 - 8p + 3 = 0,$ so $p = \tfrac{4 - \sqrt{10}}{2} = \tfrac12\!\left(4 - \sqrt{10}\right).$ Then $m = 4,$ $n = 10,$ and $m + n = 14.$ Thus, E is the correct answer.

2024 AMC 10A Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años