Question

En una carrera entre $5$ caracoles, hay a lo sumo un empate, pero ese empate puede involucrar cualquier número de caracoles. Por ejemplo, el resultado de la carrera podría ser que Dazzler es primero; Abby, Cyrus y Elroy empatan en el segundo lugar, y Bruna es quinta. ¿Cuántos resultados diferentes de la carrera son posibles?

In a race among $5$ snails, there is at most one tie, but that tie can involve any number of snails. For example, the result of the race might be that Dazzler is first; Abby, Cyrus, and Elroy are tied for second, and Bruna is fifth. How many different results of the race are possible?

$180$

$361$

$420$

$431$

$720$

Solución:

Si nadie empata, los $5$ caracoles terminan en $5! = 120$ órdenes. Ahora permite exactamente un grupo empatado de tamaño $k$ con $2 \le k \le 5.$ Elige el grupo de $\binom{5}{k}$ maneras, luego trátalo como un bloque, dejando $6 - k$ bloques para ordenar de $(6 - k)!$ maneras. Sumando sobre $k:$ $\binom{5}{2}4!$ $+ \binom{5}{3}3!$ $+ \binom{5}{4}2!$ $+ \binom{5}{5}1!$ $= 240 + 60 + 10 + 1$ $= 311.$ Suma el conteo sin empate: $120 + 311 = 431.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

If nobody ties, the $5$ snails finish in $5! = 120$ orders. Now allow exactly one tied group of size $k$ with $2 \le k \le 5.$ Choose the group in $\binom{5}{k}$ ways, then treat it as one block, leaving $6 - k$ blocks to arrange in $(6 - k)!$ ways. Summing over $k:$ $\binom{5}{2}4!$ $+ \binom{5}{3}3!$ $+ \binom{5}{4}2!$ $+ \binom{5}{5}1!$ $= 240 + 60 + 10 + 1$ $= 311.$ Add the no-tie count: $120 + 311 = 431.$ Thus, D is the correct answer.

2024 AMC 10B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años