Question

Sea $N$ un múltiplo positivo de $5.$ Una bola roja y $N$ bolas verdes se colocan en una línea en orden aleatorio. Sea $P(N)$ la probabilidad de que al menos $\frac{3}{5}$ de las bolas verdes estén del mismo lado de la bola roja. Observa que $P(5)=1$ y que $P(N)$ se aproxima a $\frac{4}{5}$ cuando $N$ crece. ¿Cuál es la suma de los dígitos del menor valor de $N$ tal que $P(N) < \dfrac{321}{400}$ ?

Let $N$ be a positive multiple of $5.$ One red ball and $N$ green balls are arranged in a line in random order. Let $P(N)$ be the probability that at least $\frac{3}{5}$ of the green balls are on the same side of the red ball. Observe that $P(5)=1$ and that $P(N)$ approaches $\frac{4}{5}$ as $N$ grows large. What is the sum of the digits of the least value of $N$ such that $P(N) < \dfrac{321}{400}?$

$12$

$14$

$16$

$18$

$20$

Solución:

Piensa primero en ordenar las $N$ bolas verdes, y luego colocar la bola roja en uno de los $N+1$ espacios. Si hay $k$ bolas verdes a la izquierda de la bola roja, entonces hay $N-k$ a su derecha.

Al menos $\frac35N$ bolas verdes están de un lado exactamente cuando $k\le\frac25N$ o $k\ge\frac35N$ . Así que los espacios malos son $\frac25N+1,\frac25N+2,\ldots,\frac35N-1,$ un total de $\frac15N-1$ espacios.

Por lo tanto $\begin{aligned} P(N) &= 1-\frac{N/5-1}{N+1} \\ &= \frac{4N+10}{5N+5}. \end{aligned}$ Al resolver $\frac{4N+10}{5N+5}<\frac{321}{400}$ obtenemos $N>479$ . El menor múltiplo positivo de $5$ es $480$ , cuya suma de dígitos es $12$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Think of first arranging the $N$ green balls, then placing the red ball in one of the $N+1$ gaps. If $k$ green balls are to the left of the red ball, then $N-k$ are to its right.

At least $\frac35N$ green balls are on one side exactly when $k\le\frac25N$ or $k\ge\frac35N$ . Thus the bad gaps are $\frac25N+1,\frac25N+2,\ldots,\frac35N-1,$ a total of $\frac15N-1$ gaps.

Therefore $\begin{aligned} P(N) &= 1-\frac{N/5-1}{N+1} \\ &= \frac{4N+10}{5N+5}. \end{aligned}$ Solving $\frac{4N+10}{5N+5}<\frac{321}{400}$ gives $N>479$ . The least positive multiple of $5$ is $480$ , whose digit sum is $12$ .

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 10A Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años