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2022 AMC 10B Problema 17

Intenta el Problema 17 del 2022 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2022 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

17.

Uno de los siguientes números no es divisible por ningún número primo menor que 10.10. ¿Cuál es?
One of the following numbers is not divisible by any prime number less than 10.10. Which is it?
2606−1 2^{606}-1
2606+1 2^{606}+1
2607−1 2^{607}-1
2607+1 2^{607}+1
2607+3607 2^{607}+3^{607}
Respuesta: C
Conceptos:factorizaciónaritmética modulardivisibilidad
Nivel de dificultad: 1820
Pista pequeña:
Para la opción restante, prueba la divisibilidad por 2,2, 3,3, 55 y 7.7.
For the remaining choice, test divisibility by 2,2, 3,3, 5,5, and 77
Pista grande:
Elimina cuatro opciones encontrando un divisor primo pequeño.
Eliminate four choices by finding a small prime divisor
Solución:
Usa el hecho de que an−bna^n-b^n es divisible por a−b.a-b.
La opción A es 2606−1=4303−1,2^{606}-1=4^{303}-1, que es divisible por 4−1=3.4-1=3.
La opción B es 2606+1=4303−(−1)303,2^{606}+1=4^{303}-(-1)^{303}, que es divisible por 4−(−1)=5.4-(-1)=5.
La opción D es 2607+1.2^{607}+1. Como 2606−12^{606}-1 es divisible por 3,3, al multiplicar por 22 se obtiene 2607−22^{607}-2 divisible por 3,3, de modo que 2607+12^{607}+1 es divisible por 3.3.
La opción E es 3607+2607=3607−(−2)607,3^{607}+2^{607}=3^{607}-(-2)^{607}, que es divisible por 3−(−2)=5.3-(-2)=5.
Para la opción C, 2607−12^{607}-1 es impar. Además 2607≡2(mod3),2^{607}\equiv2\pmod3, 2607≡3(mod5),2^{607}\equiv3\pmod5, y 2607≡2(mod7),2^{607}\equiv2\pmod7, así que 2607−12^{607}-1 no es divisible por 3,5,3,5, ni 7.7.
Así, nuestra respuesta es C.
Use the fact that an−bna^n-b^n is divisible by a−b.a-b.
Choice A is 2606−1=4303−1,2^{606}-1=4^{303}-1, which is divisible by 4−1=3.4-1=3.
Choice B is 2606+1=4303−(−1)303,2^{606}+1=4^{303}-(-1)^{303}, which is divisible by 4−(−1)=5.4-(-1)=5.
Choice D is 2607+1.2^{607}+1. Since 2606−12^{606}-1 is divisible by 3,3, multiplying by 22 gives 2607−22^{607}-2 divisible by 3,3, so 2607+12^{607}+1 is divisible by 3.3.
Choice E is 3607+2607=3607−(−2)607,3^{607}+2^{607}=3^{607}-(-2)^{607}, which is divisible by 3−(−2)=5.3-(-2)=5.
For choice C, 2607−12^{607}-1 is odd. Also 2607≡2(mod3),2^{607}\equiv2\pmod3, 2607≡3(mod5),2^{607}\equiv3\pmod5, and 2607≡2(mod7),2^{607}\equiv2\pmod7, so 2607−12^{607}-1 is not divisible by 3,5,3,5, or 7.7.
Thus, our answer is C .
Problema 16#16
Examen completo
Problema 18#18

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