Question

Considera una sucesión decreciente de

n

enteros positivos

x_1 \gt x_2 \gt x_3 \gt \cdots \gt x_n

que satisface las siguientes condiciones. El promedio de los primeros

3

términos de la sucesión es

2025.

Para todo

4 \le k \le n,

el promedio de los primeros

k

términos de la sucesión es

1

menos que el promedio de los primeros

k - 1

términos de la sucesión.

¿Cuál es el mayor valor posible de

n

?

Consider a decreasing sequence of

n

positive integers

x_1 \gt x_2 \gt x_3 \gt \cdots \gt x_n

that satisfies the following conditions. The average of the first

3

terms in the sequence is

2025.

For all

4 \le k \le n,

the average of the first

k

terms in the sequence is

1

less than the average of the first

k - 1

terms in the sequence.

What is the greatest possible value of

n?

1013

1014

1016

2016

2025

Respuesta: B

Conceptos:media sumatoria acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Sea

A_k

el promedio de los primeros

k

términos; las condiciones dan

A_k = 2028 - k

para

k \ge 3

.

Let

A_k

be the average of the first

k

terms; the conditions give

A_k = 2028 - k

for

k \ge 3

Pista grande:

Entonces

x_k = k A_k

- (k-1)A_{k-1} = 2029

- 2k

para

k \ge 4;

exige que siga siendo un entero positivo.

Then

x_k = k A_k

- (k-1)A_{k-1} = 2029

- 2k

for

k \ge 4;

require it to stay a positive integer

Solución:

Sea

A_k

el promedio de los primeros

k

términos. Entonces

A_3 = 2025

y

A_k = A_{k-1} - 1

para

k \ge 4,

así que

A_k = 2028 - k.

La suma parcial es

S_k = k(2028 - k),

y para

k \ge 4

los términos son

x_k = S_k - S_{k-1} = 2029 - 2k,

es decir

x_4 = 2021, x_5 = 2019, \ldots.

Estos se mantienen positivos mientras

2029 - 2k \gt 0,

es decir

k \le 1014,

con

x_{1014} = 1.

Esta cota es alcanzable: toma

(x_1,x_2,x_3) = (2030,2023,2022),

que es decreciente, suma

6075,

y queda por encima de

x_4 = 2021.

Así, el mayor valor posible es

n = 1014,

por lo que B es la respuesta correcta.

Let

A_k

be the average of the first

k

terms. Then

A_3 = 2025

and

A_k = A_{k-1} - 1

for

k \ge 4,

so

A_k = 2028 - k.

The partial sum is

S_k = k(2028 - k),

and for

k \ge 4

the terms are

x_k = S_k - S_{k-1} = 2029 - 2k,

namely

x_4 = 2021, x_5 = 2019, \ldots.

These stay positive as long as

2029 - 2k \gt 0,

that is

k \le 1014,

with

x_{1014} = 1.

This bound is attainable: take

(x_1,x_2,x_3) = (2030,2023,2022),

which is decreasing, sums to

6075,

and lies above

x_4 = 2021.

Thus the greatest possible value is

n = 1014,

so B is the correct answer.

2025 AMC 10B Problema 17

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años