Question

Boris tiene una increíble máquina para cambiar monedas. Cuando introduce una moneda de veinticinco centavos, devuelve cinco monedas de cinco centavos; cuando introduce una de cinco centavos, devuelve cinco monedas de un centavo; y cuando introduce una moneda de un centavo, devuelve cinco de veinticinco centavos. Boris comienza con una sola moneda de un centavo. ¿Cuál de las siguientes cantidades podría tener Boris después de usar la máquina repetidamente?

Boris has an incredible coin changing machine. When he puts in a quarter, it returns five nickels; when he puts in a nickel, it returns five pennies; and when he puts in a penny, it returns five quarters. Boris starts with just one penny. Which of the following amounts could Boris have after using the machine repeatedly?

$3.63

$5.13

$6.30

$7.45

$9.07

Solución:

Cambiar una moneda de veinticinco centavos por cinco de cinco centavos, o una de cinco centavos por cinco de un centavo, no cambia el valor total. Solo cambiar un centavo por cinco monedas de veinticinco centavos lo cambia, agregando $5 \cdot 25 - 1 = 124$ centavos.

Partiendo de $1$ centavo, Boris siempre tiene $1 + 124n$ centavos para algún entero no negativo $n.$

Solo $\$7.45$ tiene esta forma, ya que $745 = 1 + 124 \cdot 6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Trading a quarter for five nickels or a nickel for five pennies does not change the total value. Only trading a penny for five quarters changes it, adding $5 \cdot 25 - 1 = 124$ cents.

Starting from $1$ cent, Boris always has $1 + 124n$ cents for some nonnegative integer $n.$

Only $\$7.45$ has this form, since $745 = 1 + 124 \cdot 6.$

Thus, the correct answer is D.

2000 AMC 10 Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años