Question

Sea

ABCD

un rectángulo con

AB = 30

y

BC = 28.

Los puntos

P

y

Q

están en

BC

y

CD

respectivamente, de modo que todos los lados de

\triangle ABP,

\triangle PCQ,

y

\triangle QDA

tienen longitudes enteras. ¿Cuál es el perímetro de

\triangle APQ

?

Let

ABCD

be a rectangle with

AB = 30

and

BC = 28.

Points

P

and

Q

lie on

BC

and

CD

respectively so that all sides of

\triangle ABP,

\triangle PCQ,

and

\triangle QDA

have integer lengths. What is the perimeter of

\triangle APQ?

84

86

88

90

92

Respuesta: A

Conceptos:Terna pitagórica rectángulo enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Cada uno de los tres triángulos es rectángulo en una esquina, así que

AP^2 = 30^2 + BP^2

y

QA^2 = 28^2 + DQ^2

deben ser cuadrados perfectos.

Each of the three triangles is right-angled at a corner, so

AP^2 = 30^2 + BP^2

and

QA^2 = 28^2 + DQ^2

must be perfect squares

Pista grande:

Usa las ternas

30

-

16

-

34

y

21

-

28

-

35;

entonces

PQ

también resulta entero.

Use the triples

30

-

16

-

34

and

21

-

28

-

35;

then

PQ

comes out an integer too

Solución:

Pon

A = (0,0)

,

B = (30,0)

,

C = (30,28)

,

D = (0,28)

, con

P = (30, p)

en

BC

y

Q = (30 - q, 28)

en

CD

. Los tres triángulos rectángulos dan

AP = \sqrt{30^2 + p^2}

,

QA = \sqrt{28^2 + (30 - q)^2}

, y

PQ = \sqrt{(28 - p)^2 + q^2}

. Para

0 \leq p \leq 28

, la ecuación

(AP-p)(AP+p)=900

da solo

p=0

y

p=16

, con

AP=30

y

AP=34

. De igual modo, poniendo

x=30-q

, la ecuación

(QA-x)(QA+x)=784

con

0 \leq x \leq 30

da

x=0

o

x=21

. Al probar estas cuatro combinaciones en la fórmula de

PQ

, solo funciona

p=16

,

x=21

. Así

q=9

,

QA=35

, y

PQ=\sqrt{12^2+9^2}=15

. El perímetro de

\triangle APQ

es

34+15+35=84

. Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Set

A = (0,0)

,

B = (30,0)

,

C = (30,28)

,

D = (0,28)

, with

P = (30, p)

on

BC

and

Q = (30 - q, 28)

on

CD

. The three right triangles give

AP = \sqrt{30^2 + p^2}

,

QA = \sqrt{28^2 + (30 - q)^2}

, and

PQ = \sqrt{(28 - p)^2 + q^2}

. For

0 \leq p \leq 28

, the equation

(AP-p)(AP+p)=900

gives only

p=0

and

p=16

, with

AP=30

and

AP=34

. Similarly, setting

x=30-q

, the equation

(QA-x)(QA+x)=784

with

0 \leq x \leq 30

gives

x=0

or

x=21

. Testing these four combinations in the formula for

PQ

, only

p=16

,

x=21

works. Thus

q=9

,

QA=35

, and

PQ=\sqrt{12^2+9^2}=15

. The perimeter of

\triangle APQ

is

34+15+35=84

. Thus, A is the correct answer.

2023 AMC 10A Problema 17

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años