Question

Sea $ABCD$ un rectángulo con $AB = 30$ y $BC = 28.$ Los puntos $P$ y $Q$ están en $BC$ y $CD$ respectivamente, de modo que todos los lados de $\triangle ABP,$ $\triangle PCQ,$ y $\triangle QDA$ tienen longitudes enteras. ¿Cuál es el perímetro de $\triangle APQ$ ?

Let $ABCD$ be a rectangle with $AB = 30$ and $BC = 28.$ Points $P$ and $Q$ lie on $BC$ and $CD$ respectively so that all sides of $\triangle ABP,$ $\triangle PCQ,$ and $\triangle QDA$ have integer lengths. What is the perimeter of $\triangle APQ?$

$84$

$86$

$88$

$90$

$92$

Solución:

Pon $A = (0,0)$ , $B = (30,0)$ , $C = (30,28)$ , $D = (0,28)$ , con $P = (30, p)$ en $BC$ y $Q = (30 - q, 28)$ en $CD$ . Los tres triángulos rectángulos dan $AP = \sqrt{30^2 + p^2}$ , $QA = \sqrt{28^2 + (30 - q)^2}$ , y $PQ = \sqrt{(28 - p)^2 + q^2}$ . Para $0 \leq p \leq 28$ , la ecuación $(AP-p)(AP+p)=900$ da solo $p=0$ y $p=16$ , con $AP=30$ y $AP=34$ . De igual modo, poniendo $x=30-q$ , la ecuación $(QA-x)(QA+x)=784$ con $0 \leq x \leq 30$ da $x=0$ o $x=21$ . Al probar estas cuatro combinaciones en la fórmula de $PQ$ , solo funciona $p=16$ , $x=21$ . Así $q=9$ , $QA=35$ , y $PQ=\sqrt{12^2+9^2}=15$ . El perímetro de $\triangle APQ$ es $34+15+35=84$ . Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Set $A = (0,0)$ , $B = (30,0)$ , $C = (30,28)$ , $D = (0,28)$ , with $P = (30, p)$ on $BC$ and $Q = (30 - q, 28)$ on $CD$ . The three right triangles give $AP = \sqrt{30^2 + p^2}$ , $QA = \sqrt{28^2 + (30 - q)^2}$ , and $PQ = \sqrt{(28 - p)^2 + q^2}$ . For $0 \leq p \leq 28$ , the equation $(AP-p)(AP+p)=900$ gives only $p=0$ and $p=16$ , with $AP=30$ and $AP=34$ . Similarly, setting $x=30-q$ , the equation $(QA-x)(QA+x)=784$ with $0 \leq x \leq 30$ gives $x=0$ or $x=21$ . Testing these four combinations in the formula for $PQ$ , only $p=16$ , $x=21$ works. Thus $q=9$ , $QA=35$ , and $PQ=\sqrt{12^2+9^2}=15$ . The perimeter of $\triangle APQ$ is $34+15+35=84$ . Thus, A is the correct answer.

2023 AMC 10A Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años