Question

Una recta que pasa por el origen corta tanto a la recta $x = 1$ como a la recta $y=1+ \dfrac{\sqrt{3}}{3} x.$ Las tres rectas forman un triángulo equilátero. ¿Cuál es el perímetro del triángulo?

A line that passes through the origin intersects both the line $x = 1$ and the line $y=1+ \dfrac{\sqrt{3}}{3} x.$ The three lines create an equilateral triangle. What is the perimeter of the triangle?

$2\sqrt{6}$

$2 + 2\sqrt{3}$

$6$

$3 + 2\sqrt{3}$

$6 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Solución:

Como uno de los lados del triángulo equilátero es una recta vertical, el eje de simetría perpendicular a este lado debe ser horizontal.

Esto significa que la pendiente del tercer lado debe ser opuesta a la pendiente del segundo lado, que sería $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$

Para hallar el perímetro, solo necesitamos hallar la longitud de uno de los lados del triángulo.

Podemos sustituir $x = 1$ en las otras dos ecuaciones para obtener los dos vértices sobre la recta vertical.

Los dos valores de $y$ son $1 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ y $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$ Su diferencia es $1 + \dfrac{2\sqrt{3}}{3},$ lo que hace que el perímetro sea $3 \cdot \left(1 + \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right) = 3 + 2\sqrt{3}.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Since one of the sides of the equilateral triangle is a vertical line, the line of symmetry perpendicular to this side must be horizontal.

This means that the slope of the third side must be opposite the slope of the second side, which would be $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$

To find the perimeter, we only need to find the length of one of the sides of the triangle.

We can plug in $x = 1$ into the two other equations to get the two vertices on the vertical line.

The two $y$ -values are $1 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ and $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$ Their difference is $1 + \dfrac{2\sqrt{3}}{3},$ which makes the perimeter $3 \cdot \left(1 + \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right) = 3 + 2\sqrt{3}.$ Thus, D is the correct answer.

2015 AMC 10A Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años