Question

En el rectángulo $ADEH,$ los puntos $B$ y $C$ trisecan $\overline{AD},$ y los puntos $G$ y $F$ trisecan $\overline{HE}.$ Además, $AH = AC = 2.$ ¿Cuál es el área del cuadrilátero $WXYZ$ que se muestra en la figura?

In rectangle $ADEH,$ points $B$ and $C$ trisect $\overline{AD},$ and points $G$ and $F$ trisect $\overline{HE}.$ In addition, $AH = AC = 2.$ What is the area of quadrilateral $WXYZ$ shown in the figure?

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

Solución:

Toma $A = (0, 0),$ $D = (3, 0),$ $H = (0, 2),$ así que $B = (1, 0),$ $C = (2, 0),$ $G = (1, 2),$ $F = (2, 2),$ y $E = (3, 2).$

Los segmentos dibujados se cortan en $W = (1.5, 1.5),$ $X = (1, 1),$ $Y = (1.5, 0.5),$ y $Z = (2, 1).$ Estos forman un cuadrado cuyas diagonales perpendiculares $WY$ y $XZ$ tienen cada una longitud $1.$

Su área es $\frac12 \cdot 1 \cdot 1 = \frac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Set $A = (0, 0),$ $D = (3, 0),$ $H = (0, 2),$ so $B = (1, 0),$ $C = (2, 0),$ $G = (1, 2),$ $F = (2, 2),$ and $E = (3, 2).$

The drawn segments meet at $W = (1.5, 1.5),$ $X = (1, 1),$ $Y = (1.5, 0.5),$ and $Z = (2, 1).$ These form a square whose perpendicular diagonals $WY$ and $XZ$ each have length $1.$

Its area is $\frac12 \cdot 1 \cdot 1 = \frac12.$

Thus, the correct answer is A.

2006 AMC 10A Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años