Question

Alex tiene $75$ fichas rojas y $75$ fichas azules. Hay un puesto donde Alex puede entregar dos fichas rojas y recibir a cambio una ficha plateada y una ficha azul, y otro puesto donde Alex puede entregar tres fichas azules y recibir a cambio una ficha plateada y una ficha roja. Alex sigue intercambiando fichas hasta que ya no sean posibles más intercambios. ¿Cuántas fichas plateadas tendrá Alex al final?

Alex has $75$ red tokens and $75$ blue tokens. There is a booth where Alex can give two red tokens and receive in return a silver token and a blue token, and another booth where Alex can give three blue tokens and receive in return a silver token and a red token. Alex continues to exchange tokens until no more exchanges are possible. How many silver tokens will Alex have at the end?

$62$

$82$

$83$

$102$

$103$

Respuesta: E

Conceptos:Ecuación diofántica invariante simulación de procesos

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Sean $m$ y $n$ las cantidades de los dos tipos de intercambio.

Let $m$ and $n$ be the numbers of the two exchange types

Pista grande:

Que no haya más movimientos significa menos de $2$ fichas rojas y menos de $3$ fichas azules.

No more moves means fewer than $2$ red and fewer than $3$ blue tokens

Solución:

Supón que Alex hace $m$ intercambios en el puesto de fichas rojas y $n$ intercambios en el puesto de fichas azules.

Entonces tiene $75-2m+n$ fichas rojas y $75+m-3n$ fichas azules. Al final debe tener menos de $2$ fichas rojas y menos de $3$ fichas azules.

Al resolver estas posibilidades terminales se obtienen solo dos conteos finales candidatos de fichas: $(1,2)$ , que proviene de $(m,n)=(59,44)$ , o $(0,0)$ , que proviene de $(m,n)=(60,45)$ .

El conteo final $(0,0)$ es imposible, porque el último intercambio siempre crearía una ficha azul o una ficha roja.

El conteo final $(1,2)$ es alcanzable. Partiendo de $(75,75)$ fichas rojas y azules, haz $25$ intercambios en el puesto azul, luego $50$ en el puesto rojo, después $16$ en el puesto azul, $8$ en el puesto rojo, $3$ en el puesto azul y, por último, $1$ en el puesto rojo. Los conteos de fichas rojas y azules pasan a ser $\begin{aligned} &(100,0),(0,50),(16,2),\\ &(0,10),(3,1),(1,2). \end{aligned}$

Por lo tanto, Alex termina con $59+44=103$ fichas plateadas, y la respuesta correcta es E.

Suppose Alex makes $m$ exchanges at the red-token booth and $n$ exchanges at the blue-token booth.

He then has $75-2m+n$ red tokens and $75+m-3n$ blue tokens. At the end he must have fewer than $2$ red tokens and fewer than $3$ blue tokens.

Solving these terminal possibilities gives only two candidate final token counts: $(1,2)$ , which comes from $(m,n)=(59,44)$ , or $(0,0)$ , which comes from $(m,n)=(60,45)$ .

The final count $(0,0)$ is impossible, because the last exchange would always create either one blue token or one red token.

The final count $(1,2)$ is attainable. Starting from $(75,75)$ red and blue tokens, make $25$ blue-booth exchanges, then $50$ red-booth exchanges, then $16$ blue-booth exchanges, then $8$ red-booth exchanges, then $3$ blue-booth exchanges, and finally $1$ red-booth exchange. The red-blue counts become $\begin{aligned} &(100,0),(0,50),(16,2),\\ &(0,10),(3,1),(1,2). \end{aligned}$

Therefore Alex ends with $59+44=103$ silver tokens, and the correct answer is E .

2013 AMC 10B Problema 17

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años