Question

Jesse corta un disco de papel circular de radio 12 a lo largo de dos radios para formar dos sectores, el menor con un ángulo central de 120 grados. Hace dos conos circulares, usando cada sector para formar la superficie lateral de un cono. ¿Cuál es la razón entre el volumen del cono menor y el del mayor?

Jesse cuts a circular paper disk of radius 12 along two radii to form two sectors, the smaller having a central angle of 120 degrees. He makes two circular cones, using each sector to form the lateral surface of a cone. What is the ratio of the volume of the smaller cone to that of the larger?

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$

$\dfrac{\sqrt{5}}{6}$

$\dfrac{\sqrt{10}}{5}$

Solución:

Cada sector forma un cono con generatriz $12$ . El sector menor tiene ángulo $120^\circ$ , así que la longitud de su arco es $\dfrac13\cdot2\pi\cdot12=8\pi$ , lo que da radio de la base $4$ . La altura de su cono es $\sqrt{12^2-4^2}=8\sqrt2$ .

El sector mayor tiene longitud de arco $16\pi$ , lo que da radio de la base $8$ . La altura de su cono es $\sqrt{12^2-8^2}=4\sqrt5$ .

La razón de volúmenes es $\dfrac{\frac13\pi\cdot4^2\cdot8\sqrt2}{\frac13\pi\cdot8^2\cdot4\sqrt5}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Each sector forms a cone with slant height $12$ . The smaller sector has angle $120^\circ$ , so its arc length is $\dfrac13\cdot2\pi\cdot12=8\pi$ , giving base radius $4$ . Its cone height is $\sqrt{12^2-4^2}=8\sqrt2$ .

The larger sector has arc length $16\pi$ , giving base radius $8$ . Its cone height is $\sqrt{12^2-8^2}=4\sqrt5$ .

The volume ratio is $\dfrac{\frac13\pi\cdot4^2\cdot8\sqrt2}{\frac13\pi\cdot8^2\cdot4\sqrt5}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}.$

Thus, C is the correct answer.

2012 AMC 10B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años