Soluciones del 2012 AMC 10B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Cada aula de tercer grado de la Escuela Primaria Pearl Creek tiene $18$ estudiantes y $2$ conejos como mascotas. ¿Cuántos estudiantes más que conejos hay en total en las $4$ aulas de tercer grado?

Each third-grade classroom at Pearl Creek Elementary has $18$ students and $2$ pet rabbits. How many more students than rabbits are there in all $4$ of the third-grade classrooms?

$48$

$56$

$64$

$72$

$80$

Conceptos:operaciones con números enteros

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Primero halla la diferencia entre estudiantes y conejos en un aula.

Find the student-rabbit difference in one classroom first

Pista grande:

Multiplica esa diferencia por las $4$ aulas.

Multiply that difference by $4$ classrooms

Solución:

Cada aula tiene $18-2=16$ estudiantes más que conejos.

En las $4$ aulas, la diferencia es $4\cdot16=64$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Each classroom has $18-2=16$ more students than rabbits.

Across $4$ classrooms, the difference is $4\cdot16=64$ .

Thus, C is the correct answer.

2.

Un círculo de radio $5$ está inscrito en un rectángulo como se muestra. La razón entre el largo del rectángulo y su ancho es $2:1.$ ¿Cuál es el área del rectángulo?

A circle of radius $5$ is inscribed in a rectangle as shown. The ratio of the length of the rectangle to its width is $2:1.$ What is the area of the rectangle?

$50$

$100$

$125$

$150$

$200$

Conceptos:círculo rectángulo razón y proporción

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

El ancho del rectángulo es el diámetro del círculo.

The rectangle width is the circle diameter

Pista grande:

Usa la razón largo a ancho $2:1$ después de hallar el ancho.

Use the $2:1$ length-to-width ratio after finding the width

Solución:

El lado menor del rectángulo es igual al diámetro, que es $2r=2\cdot 5=10.$

Debido a la razón $2:1$ , el lado largo es $10\cdot 2=20.$

Por lo tanto, el área es $20\cdot 10=200.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The smaller side of the rectangle is equal to the diameter, which is $2r=2\cdot 5=10.$

Due to the $2:1$ ratio, the long side is $10\cdot 2=20.$

Therefore, the area is $20\cdot 10=200.$

Thus, the correct answer is E .

3.

El punto del plano $xy$ con coordenadas $(1000, 2012)$ se refleja respecto a la recta $y=2000.$ ¿Cuáles son las coordenadas del punto reflejado?

The point in the $xy$ -plane with coordinates $(1000, 2012)$ is reflected across the line $y=2000.$ What are the coordinates of the reflected point?

$(998,2012)$

$(1000,1988)$

$(1000,2024)$

$(1000,4012)$

$(1012,2012)$

Conceptos:reflexión (geometría)geometría analítica

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

La recta de reflexión es horizontal.

The reflecting line is horizontal

Pista grande:

El punto está $12$ unidades por encima de $y=2000$ .

The point is $12$ units above $y=2000$

Solución:

Observa que la recta en cuestión es perfectamente horizontal. Esto significa que si construimos un segmento perpendicular desde el punto hasta la recta, para hallar las coordenadas reflejadas basta con duplicar la distancia a lo largo de ese segmento.

El segmento desde $(1000,2012)$ hasta $y=2000$ tiene longitud $12,$ así que el punto reflejado está sobre este mismo segmento, pero a una distancia de $12$ del otro lado de la recta horizontal. Esto da $(1000,1988).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Notice that the line in question is perfectly horizontal. This means that if we were to construct a perpendicular line segment from the point to the line, to find the reflected coordinates of the point, we simply double the distance along that line segment.

The line segment from $(1000,2012)$ to $y=2000$ is of length $12,$ so the reflected point is along this same line segment, but a distance of $12$ on the other side of the horizontal line. This yields $(1000,1988).$

Thus, the correct answer is B .

4.

Cuando Ringo coloca sus canicas en bolsas con $6$ canicas por bolsa, le sobran $4$ canicas. Cuando Paul hace lo mismo con las suyas, le sobran $3$ canicas. Ringo y Paul juntan sus canicas y las colocan en tantas bolsas como sea posible, con $6$ canicas por bolsa. ¿Cuántas canicas sobrarán?

When Ringo places his marbles into bags with $6$ marbles per bag, he has $4$ marbles left over. When Paul does the same with his marbles, he has $3$ marbles left over. Ringo and Paul pool their marbles and place them into as many bags as possible, with $6$ marbles per bag. How many marbles will be left over?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:aritmética modular

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Suma los dos residuos módulo $6$ .

Add the two remainders modulo $6$

Pista grande:

$4+3$ deja residuo $1$ al dividir entre $6$ .

$4+3$ leaves remainder $1$ when divided by $6$

Solución:

Como las canicas de Ringo, al dividirse entre $6,$ dejan residuo $4,$ concluimos que tiene $6x+4$ canicas para algún $x.$

Con la misma lógica, también concluimos que Paul tiene $6y+3$ canicas para algún $y.$

Por lo tanto, el número total de canicas es $(6x+4)+(6y+3)$ $= 6(x+y+1)+1$ que, al dividirse entre $6,$ deja residuo $1$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

As we know that when Ringo’s marbles are divided by $6,$ we have a remainder of $4,$ we conclude that he has $6x+4$ marbles for some $x.$

Using the same logic, we can also conclude that Paul has $6y+3$ marbles for some $y.$

Therefore, the total number of marbles is $(6x+4)+(6y+3)$ $= 6(x+y+1)+1$ which, when divided by $6,$ only leaves $1$ left over.

Thus, the correct answer is A .

5.

Anna disfruta de una cena en un restaurante de Washington, D.C., donde el impuesto a las ventas sobre las comidas es del $10\%.$ Ella deja una propina del $15\%$ sobre el precio de su comida antes de añadir el impuesto, y el impuesto se calcula sobre el importe anterior a la propina. En total gasta $\$27.50$ en la cena. ¿Cuál es el costo de su cena sin impuesto ni propina, en dólares?

Anna enjoys dinner at a restaurant in Washington, D.C., where the sales tax on meals is $10\%.$ She leaves a $15\%$ tip on the price of her meal before the sales tax is added, and the tax is calculated on the pre-tip amount. She spends a total of $\$27.50$ for dinner. What is the cost of her dinner without tax or tip?

$\$18$

$\$20$

$\$21$

$\$22$

$\$24$

Conceptos:porcentaje ecuación lineal

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

El impuesto y la propina son ambos porcentajes del precio de la comida antes de impuestos.

Tax and tip are both percentages of the pre-tax meal price

Pista grande:

La cuenta total es el $125\%$ del precio de la comida.

The total bill is $125\%$ of the meal price

Solución:

Supongamos que el precio original es $x.$ Entonces, el impuesto es $0.1x$ y la propina es $0.15x.$ El pago total es $\begin{aligned}x+0.1x+0.15x&=1.25x\\&=27.5\end{aligned}$ Por lo tanto, $x=22.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Suppose the original price is $x.$ Then, the tax is $0.1x$ and the tip is $0.15x.$ This makes the total payment equal to: $\begin{aligned}x+0.1x+0.15x&=1.25x\\&=27.5\end{aligned}$ Therefore, $x=22.$

Thus, the correct answer is D .

6.

Para estimar el valor de $x-y$ , donde $x$ e $y$ son números reales con $x > y > 0,$ Xiaoli redondeó $x$ hacia arriba una pequeña cantidad, redondeó $y$ hacia abajo la misma cantidad, y luego restó sus valores redondeados.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente correcta?

In order to estimate the value of $x-y$ where $x$ and $y$ are real numbers with $x > y > 0,$ Xiaoli rounded $x$ up by a small amount, rounded $y$ down by the same amount, and then subtracted her rounded values.

Which of the following statements is necessarily correct?

Su estimación es mayor que $x-y$ .

Her estimate is larger than $x-y$

Su estimación es menor que $x-y$ .

Her estimate is smaller than $x-y$

Su estimación es igual a $x-y$ .

Her estimate equals $x-y$

Su estimación es igual a $y-x$ .

Her estimate equals $y-x$

Su estimación es $0$ .

Her estimate is $0$

Conceptos:estimación desigualdad

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Redondear $x$ hacia arriba lo mueve más a la derecha en la recta numérica.

Rounding $x$ up moves it farther right on the number line

Pista grande:

Redondear $y$ hacia abajo lo mueve más a la izquierda.

Rounding $y$ down moves it farther left

Solución:

Sea $d>0.$ la pequeña cantidad de redondeo. Xiaoli sustituye $x$ por $x+d$ y $y$ por $y-d.$ Por lo tanto, su estimación es $(x+d)-(y-d)=x-y+2d,$ que es mayor que $x-y.$

Así, la respuesta correcta es A.

Let the small rounding amount be $d>0.$ Xiaoli replaces $x$ by $x+d$ and $y$ by $y-d.$ Her estimate is therefore $(x+d)-(y-d)=x-y+2d,$ which is larger than $x-y.$

Thus, the correct answer is A .

7.

Para un proyecto de ciencias, Sammy observó a una ardilla listada y a una ardilla común guardando bellotas en hoyos. La ardilla listada escondió $3$ bellotas en cada uno de los hoyos que cavó. La ardilla común escondió $4$ bellotas en cada uno de los hoyos que cavó. Cada una escondió el mismo número de bellotas, aunque la ardilla común necesitó $4$ hoyos menos. ¿Cuántas bellotas escondió la ardilla listada?

For a science project, Sammy observed a chipmunk and a squirrel stashing acorns in holes. The chipmunk hid $3$ acorns in each of the holes it dug. The squirrel hid $4$ acorns in each of the holes it dug. They each hid the same number of acorns, although the squirrel needed $4$ fewer holes. How many acorns did the chipmunk hide?

$30$

$36$

$42$

$48$

$54$

Conceptos:ecuación lineal fracción

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Supón que la ardilla listada cava $h$ hoyos.

Let the chipmunk dig $h$ holes

Pista grande:

Compara $3h$ bellotas con $4(h-4)$ bellotas.

Compare $3h$ acorns with $4(h-4)$ acorns

Solución:

Supón que cada una escondió $x.$ Entonces la ardilla listada usó $\dfrac x3$ hoyos y la ardilla común usó $\dfrac x4 .$

La diferencia entre las cantidades de hoyos es cuatro, así que $\dfrac x3 - \dfrac x4 = \dfrac{x}{12}= 4$ de donde $x=48.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the number of acorns they each hid be $x.$ Then, the number of holes from the chipmunk is $\dfrac x3$ and the number of holes from the squirrel is $\dfrac x4 .$

This means $\dfrac x3 - \dfrac x4 = \dfrac{x}{12}= 4$ Therefore, $x=48.$

Thus, the correct answer is D .

8.

¿Cuál es la suma de todas las soluciones enteras de la siguiente desigualdad? $1 < (x-2)^2 < 25$

What is the sum of all integer solutions to the following inequality? $1 < (x-2)^2 < 25$

$10$

$12$

$15$

$19$

$25$

Conceptos:desigualdad valor absoluto simetría

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Interpreta la condición como la distancia de la incógnita a $2$ .

Solve by distance from $2$

Pista grande:

Las soluciones enteras cumplen $|x-2|=2,3,4$ .

Integer solutions have $|x-2|=2,3,4$

Solución:

Si $x=2+k$ es una solución, entonces $x=2-k$ también lo es, ya que $((2+k)-2)^2 = ((2-k)-2)^2$ La suma de estas dos soluciones es $4.$ Por lo tanto, la suma de todas las soluciones enteras es cuatro veces la cantidad de valores positivos de $k$ que funcionan.

El valor positivo $k$ debe cumplir $1 < k^2 < 25,$ lo que da $3$ valores, a saber $k=2,3,4.$

Por lo tanto, la suma total es $4\cdot3=12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Suppose we have $x=2+k$ as a solution. Then, $x=2-k$ would also be a solution as $((2+k)-2)^2 = ((2-k)-2)^2$ The sum of these two solutions would be $4.$ Thus, the sum of all integer solutions to the above equation is four times the number of positive $k$ ’s that work.

To find the number of $k$ ’s, we need to find the number of positive solutions to: $1 < k^2 < 25,$ which would be $3,$ as $k=2,3,4.$

Therefore, the sum of all the solutions is $4\cdot3=12.$

Thus, the correct answer is B .

9.

Dos enteros suman $26.$ Al agregar otros dos enteros a los dos primeros, la suma es $41.$ Finalmente, al agregar otros dos enteros a la suma de los cuatro anteriores, la suma es $57.$ ¿Cuál es el número mínimo de enteros pares entre los $6$ enteros?

Two integers have a sum of $26.$ When two more integers are added to the first two integers the sum is $41.$ Finally when two more integers are added to the sum of the previous four integers the sum is $57.$ What is the minimum number of even integers among the $6$ integers?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:paridad

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Fíjate en la paridad de cada par que se suma.

Look at the parity of each added pair

Pista grande:

El par intermedio tiene suma impar, así que debe contener un entero par y uno impar.

The middle pair has odd sum, so it must contain one even and one odd integer

Solución:

La suma de los dos primeros enteros, $26$ , es par, así que ambos pueden ser impares. Los dos siguientes suman $41-26=15$ .

Esta suma es impar, así que ese par debe tener un entero par y uno impar. Los dos últimos suman $57-41=16$ , así que ambos pueden ser impares. Por lo tanto, al menos un entero debe ser par, y ese mínimo se puede alcanzar.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The first two integers have even sum $26$ , so they can both be odd. The next two integers have sum $41-26=15$ , which is odd, so one of them must be even and one odd.

The last two integers have sum $57-41=16$ , so they can both be odd. Therefore at least one integer must be even, and one is attainable.

Thus, A is the correct answer.

10.

¿Cuántos pares ordenados de enteros positivos $(M,N)$ satisfacen la ecuación $\frac{M}{6}=\frac{6}{N}$

How many ordered pairs of positive integers $(M,N)$ satisfy the equation $\frac{M}{6}=\frac{6}{N}$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Conceptos:conteo de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Multiplica en cruz la ecuación.

Cross-multiply the equation

Pista grande:

Cuenta los divisores positivos de $36$ .

Count the positive divisors of $36$

Solución:

Al multiplicar en cruz obtenemos $MN = 36.$ Así, podemos tomar $M$ como cualquier divisor de $36$ y luego determinar $N$ a partir de él.

Como $36=2^2\cdot 3^2,$ hay $(2+1)(2+1)=9$ valores posibles para $M,$ cada uno de los cuales determina un único $N.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By cross multiplying, we can see that $MN = 36.$ Thus, we can make $M$ any factor of $36$ and then determine $N$ from it.

Since $36=2^2\cdot 3^2,$ we have $(2+1)(2+1)=9$ possible choices for $M,$ each of which also determine a unique $N.$

Thus, the correct answer is D .

11.

Un chef de postres prepara el postre para cada día de una semana que comienza en domingo. El postre de cada día es pastel, tarta, helado o pudín. No se puede servir el mismo postre dos días seguidos. El viernes debe haber pastel por un cumpleaños. ¿Cuántos menús de postres distintos son posibles para la semana?

A dessert chef prepares the dessert for every day of a week starting with Sunday. The dessert each day is either cake, pie, ice cream, or pudding. The same dessert may not be served two days in a row. There must be cake on Friday because of a birthday. How many different dessert menus for the week are possible?

$729$

$972$

$1024$

$2187$

$2304$

Conceptos:arreglos con restricciones principio de multiplicación trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Trabaja hacia atrás desde el viernes.

Work backward from Friday

Pista grande:

Una vez fijado el día siguiente, cada día vecino tiene $3$ opciones.

Each neighboring day has $3$ choices once the next day is fixed

Solución:

Sabemos que el viernes debe servirse pastel, así que el sábado no puede haber pastel. Por lo tanto, hay $3$ opciones para el postre del sábado.

Además, para cada uno de los $5$ días anteriores podemos retroceder y tener $3$ opciones cada día, de modo que el número total de menús es $3^5\cdot 3 = 729.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

We know that there must be cake served on Friday, and as such, on Saturday, we cannot have cake. Therefore, we have $3$ choices for Saturday’s menu.

Furthermore, for each of the $5$ previous days, we could go backwards and have $3$ choices on each day, making the total number of choices $3^5\cdot 3 = 729.$

Thus, the correct answer is A .

12.

El punto $B$ está justo al este del punto $A.$ El punto $C$ está justo al norte del punto $B.$ La distancia entre los puntos $A$ y $C$ es $10\sqrt 2$ metros, y $\angle BAC = 45^\circ.$ El punto $D$ está $20$ metros justo al norte del punto $C.$ ¿Entre qué dos enteros está la distancia $AD$ ?

Point $B$ is due east of point $A.$ Point $C$ is due north of point $B.$ The distance between points $A$ and $C$ is $10\sqrt 2$ meters, and $\angle BAC = 45^\circ.$ Point $D$ is $20$ meters due north of point $C.$ The distance $AD$ is between which two integers?

$30$ y $31$

$30$ and $31$

$31$ y $32$

$31$ and $32$

$32$ y $33$

$32$ and $33$

$33$ y $34$

$33$ and $34$

$34$ y $35$

$34$ and $35$

Conceptos:Teorema de Pitágoras triángulo rectángulo especial estimación

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

El triángulo $ABC$ es $45$ - $45$ - $90$ .

Triangle $ABC$ is $45$ - $45$ - $90$

Pista grande:

Halla $AB$ y $BD$ , y luego usa el teorema de Pitágoras.

Find $AB$ and $BD$ , then use the Pythagorean Theorem

Solución:

Como $AB$ y $BC$ son perpendiculares, $AB^2 + BC^2 = (10\sqrt 2)^2 = 200.$ Además, como $\angle BAC = 45^\circ,$ sabemos que $\triangle ABC$ es un triángulo rectángulo isósceles, así que $AB = BC ,$ de donde $2AB^2 = 200.$ Por lo tanto, $AB = BC = 10.$

En consecuencia, $BD= BC+CD = 30.$ Por el teorema de Pitágoras, $\begin{aligned}AD^2 &= AB^2+BD^2 \\&= 10^2+30^2\\&=1000\end{aligned}$ Y como $31^2 \lt AD^2 \lt 32^2,$ tenemos $31 \lt AD\lt 32$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

We know $AB$ and $BC$ are perpendicular, so $AB^2 + BC^2 = (10\sqrt 2)^2 = 200.$ Also, as $\angle BAC = 45^\circ,$ we know that $\triangle ABC$ is an isosceles right triangle, so $AB = BC ,$ making $2AB^2 = 200.$ Thus, $AB = BC = 10.$

As such, we know that $BD= BC+CD = 30.$ Thus, by the Pythagorean Theorem, we have that $\begin{aligned}AD^2 &= AB^2+BD^2 \\&= 10^2+30^2\\&=1000\end{aligned}$ Thus, since $31^2 \lt AD^2 \lt 32^2,$ we have $31 \lt AD\lt 32$

Thus, the correct answer is B .

13.

A Clea le toma $60$ segundos bajar caminando por una escalera mecánica cuando no está funcionando, y solo $24$ segundos bajar caminando cuando sí está funcionando. ¿Cuántos segundos tarda Clea en bajar por la escalera mecánica en funcionamiento cuando simplemente se queda quieta sobre ella?

It takes Clea $60$ seconds to walk down an escalator when it is not operating, and only $24$ seconds to walk down the escalator when it is operating. How many seconds does it take Clea to ride down the operating escalator when she just stands on it?

$36$

$40$

$42$

$48$

$52$

Conceptos:tasa distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Cuando la escalera funciona, la velocidad al caminar y la de la escalera se suman.

Let walking speed and escalator speed add when the escalator runs

Pista grande:

Usa la misma longitud de escalera en los recorridos de $60$ segundos y de $24$ segundos.

Use the same escalator length in the $60$ -second and $24$ -second trips

Solución:

Sea $d$ la longitud de la escalera, sea $c$ la velocidad de Clea al caminar por la escalera detenida, y sea $e$ la velocidad de la escalera en funcionamiento cuando ella está quieta. Como la velocidad es distancia sobre tiempo, sabemos que $c = \dfrac d{60}$ y $c+e = \dfrac d{24}.$ Por lo tanto, $e = \dfrac d{24}-\dfrac d{60} = \dfrac d{40},$ lo que significa que Clea tarda $40$ segundos en bajar por la escalera simplemente quedándose quieta.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $d$ be the escalator’s length, and let $c$ represent Clea’s speed walking down the non-operational escalator. Similarly, let $e$ represent Clea’s speed standing still on the operational escalator. Then, as speed is equal to distance over time, we know that $c = \dfrac d{60}$ and $c+e = \dfrac d{24}.$ Therefore, $e = \dfrac d{24}-\dfrac d{60} = \dfrac d{40},$ meaning that Clea takes $40$ seconds to descend the escalator by simply standing still.

Thus, the correct answer is B .

14.

Dos triángulos equiláteros están contenidos en un cuadrado cuyo lado mide $2\sqrt 3.$ Las bases de estos triángulos son lados opuestos del cuadrado, y su intersección es un rombo. ¿Cuál es el área del rombo?

Two equilateral triangles are contained in a square whose side length is $2\sqrt 3.$ The bases of these triangles are opposite sides of the square, and their intersection is a rhombus. What is the area of the rhombus?

$\dfrac{3}{2}$

$\sqrt 3$

$2\sqrt 2 - 1$

$8\sqrt 3 - 12$

$\dfrac{4\sqrt 3}{3}$

Conceptos:triángulo equilátero rombo triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Usa un triángulo $30$ - $60$ - $90$ cerca de una esquina del cuadrado.

Use a $30$ - $60$ - $90$ triangle near one corner of the square

Pista grande:

Halla un triángulo pequeño fuera del rombo y multiplica su área por $4$ .

Find one small triangle outside the rhombus and multiply its area by $4$

Solución:

Este rombo se forma con dos triángulos equiláteros congruentes. La longitud del lado es $s.$ Entonces el área de uno de ellos es $\dfrac{s^2 \sqrt 3}4,$ de modo que el área total es $\dfrac{s^2 \sqrt 3}2.$

El lado del triángulo equilátero mayor es $2 \sqrt 3.$ Su altura es $3$ , ya que la altura es igual a $2 \sqrt 3 \sin(60^\circ) .$

La mitad del cuadrado es $\sqrt 3,$ así que la altura del triángulo menor es $3 - \sqrt 3 .$ Por lo tanto, la razón entre $s$ y $2 \sqrt 3$ es $\dfrac {3-\sqrt 3}3 .$

En consecuencia, $s = \dfrac{2 \sqrt 3(3-\sqrt 3)}3 = 2\sqrt 3-2 .$

Por lo tanto, el área combinada es $\begin{aligned} \dfrac{s^2 \sqrt 3}2 &= \dfrac{(2\sqrt 3-2)^2 \sqrt 3 }2 \\&= \dfrac{(16-8\sqrt 3) \sqrt 3 }2 \\&= 8 \sqrt 3 - 12 \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

This rhombus is created by placing two congruent equilateral triangles. Let the side length of it be $s.$ Then, the area of one of them is $\dfrac{s^2 \sqrt 3}4,$ making the total area $\dfrac{s^2 \sqrt 3}2.$

The side length of the larger equilateral triangle is $2 \sqrt 3.$ The height of it is $3$ since the height is equal to $2 \sqrt 3 \sin(60^\circ) .$

Half of the square is $\sqrt 3,$ so the height of the smaller triangle is $3 - \sqrt 3 .$ Thus, the ratio between $s$ and $2 \sqrt 3$ is $\dfrac {3-\sqrt 3}3 .$

As such, $s = \dfrac{2 \sqrt 3(3-\sqrt 3)}3 = 2\sqrt 3-2 .$

Therefore, the combined area is $\begin{aligned} \dfrac{s^2 \sqrt 3}2 &= \dfrac{(2\sqrt 3-2)^2 \sqrt 3 }2 \\&= \dfrac{(16-8\sqrt 3) \sqrt 3 }2 \\&= 8 \sqrt 3 - 12 \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D .

15.

En un torneo de todos contra todos con $6$ equipos, cada equipo juega un partido contra cada uno de los demás, y cada partido resulta en un equipo ganador y uno perdedor. Al final del torneo, los equipos se clasifican por el número de partidos ganados. ¿Cuál es el máximo número de equipos que podrían quedar empatados con la mayor cantidad de victorias al final del torneo?

In a round-robin tournament with $6$ teams, each team plays one game against each other team, and each game results in one team winning and one team losing. At the end of the tournament, the teams are ranked by the number of games won. What is the maximum number of teams that could be tied for the most wins at the end of the tournament?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:teoría de grafos argumento extremal

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Los seis equipos no pueden empatar todos, porque $15$ partidos no es divisible entre $6$ .

Six teams cannot all tie because $15$ games is not divisible by $6$

Pista grande:

Intenta que un equipo pierda todos sus partidos y que los otros cinco se repartan las victorias por igual.

Try making one team lose every game and the other five split games evenly

Solución:

Tendrían que repartirse $\binom 62 = 15$ victorias.

Esto significa que no puede haber un empate de $6$ equipos, ya que eso serían $2.5$ victorias por equipo.

Si hubiera un empate de $5$ equipos, cada uno podría tener $3$ victorias, lo cual es posible si un equipo pierde todos sus partidos y, entre los $5$ equipos ganadores, cada uno se reparte sus partidos.

Etiquetemos los equipos del $1$ al $5,$ y designemos que el equipo $6$ pierda todos sus partidos. Para lograr un empate de $5$ , hacemos que cada equipo $1\le x \le 5$ venza al equipo $x+1 \mod 5$ y al equipo $x+2 \mod 5,$ además del equipo $6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

They would have to share $\binom 62 = 15$ wins.

This means we cannot have a $6$ way tie as that would be $2.5$ wins per team.

If we had a $5$ way tie, each team could have $3$ wins, which is possible if one team loses all of its games, and out of the $5$ winning teams, they each split their games.

If we label the teams from $1$ to $5,$ and designate team $6$ to lose all their games. To get a $5$ way tie, we could have each team $1\le x \le 5$ beat team $x+1 \mod 5$ and team $x+2 \mod 5,$ as well as team $6.$

Thus, the correct answer is D .

16.

Tres círculos de radio $2$ son mutuamente tangentes. ¿Cuál es el área total de los círculos y de la región limitada por ellos, como se muestra en la figura?

Three circles with radius $2$ are mutually tangent. What is the total area of the circles and the region bounded by them, as shown in the figure?

$10\pi+4\sqrt{3}$

$13\pi-\sqrt{3}$

$12\pi+\sqrt{3}$

$10\pi+9$

$13\pi$

Conceptos:circunferencias tangentes sector circular triángulo equilátero descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Conecta los tres centros de los círculos.

Connect the three circle centers

Pista grande:

El área buscada consta de tres sectores de $300^\circ$ más un triángulo equilátero.

The desired area is three $300^\circ$ sectors plus an equilateral triangle

Solución:

Conecta los centros de los tres círculos. Esto forma un triángulo equilátero de lado $4$ , con área $4\sqrt3$ .

La parte incluida de cada círculo es un sector de $300^\circ$ , cuya área es $\dfrac{300}{360}\pi\cdot2^2=\dfrac{10\pi}{3}$ .

El área total es $3\cdot\dfrac{10\pi}{3}+4\sqrt3=10\pi+4\sqrt3$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Connect the centers of the three circles. This forms an equilateral triangle of side $4$ , with area $4\sqrt3$ .

The included part of each circle is a $300^\circ$ sector, whose area is $\dfrac{300}{360}\pi\cdot2^2=\dfrac{10\pi}{3}$ .

The total area is $3\cdot\dfrac{10\pi}{3}+4\sqrt3=10\pi+4\sqrt3$ .

Thus, A is the correct answer.

17.

Jesse corta un disco de papel circular de radio $12$ a lo largo de dos radios para formar dos sectores, el menor con un ángulo central de $120$ grados. Hace dos conos circulares, usando cada sector para formar la superficie lateral de un cono. ¿Cuál es la razón entre el volumen del cono menor y el del mayor?

Jesse cuts a circular paper disk of radius $12$ along two radii to form two sectors, the smaller having a central angle of $120$ degrees. He makes two circular cones, using each sector to form the lateral surface of a cone. What is the ratio of the volume of the smaller cone to that of the larger?

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$

$\dfrac{\sqrt{5}}{6}$

$\dfrac{\sqrt{10}}{5}$

Conceptos:cono sector circular volumen

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Cada cono tiene generatriz $12$ .

Each cone has slant height $12$

Pista grande:

La longitud del arco del sector se convierte en la circunferencia de la base del cono.

The sector arc length becomes the base circumference of the cone

Solución:

Cada sector forma un cono con generatriz $12$ . El sector menor tiene ángulo $120^\circ$ , así que la longitud de su arco es $\dfrac13\cdot2\pi\cdot12=8\pi$ , lo que da radio de la base $4$ . La altura de su cono es $\sqrt{12^2-4^2}=8\sqrt2$ .

El sector mayor tiene longitud de arco $16\pi$ , lo que da radio de la base $8$ . La altura de su cono es $\sqrt{12^2-8^2}=4\sqrt5$ .

La razón de volúmenes es $\dfrac{\frac13\pi\cdot4^2\cdot8\sqrt2}{\frac13\pi\cdot8^2\cdot4\sqrt5}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Each sector forms a cone with slant height $12$ . The smaller sector has angle $120^\circ$ , so its arc length is $\dfrac13\cdot2\pi\cdot12=8\pi$ , giving base radius $4$ . Its cone height is $\sqrt{12^2-4^2}=8\sqrt2$ .

The larger sector has arc length $16\pi$ , giving base radius $8$ . Its cone height is $\sqrt{12^2-8^2}=4\sqrt5$ .

The volume ratio is $\dfrac{\frac13\pi\cdot4^2\cdot8\sqrt2}{\frac13\pi\cdot8^2\cdot4\sqrt5}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}.$

Thus, C is the correct answer.

18.

Supongamos que una de cada $500$ personas de cierta población tiene una enfermedad particular que no presenta síntomas. Existe un análisis de sangre para detectar esta enfermedad. Para una persona que tiene la enfermedad, el resultado siempre es positivo.

Sin embargo, para una persona que no tiene la enfermedad, hay una tasa de falsos positivos del $2\%$ . Es decir, para tales personas, el $98\%$ de las veces el resultado será negativo, pero el $2\%$ de las veces será positivo e indicará incorrectamente que la persona tiene la enfermedad.

Sea $p$ la probabilidad de que una persona elegida al azar de esta población y que obtiene un resultado positivo realmente tenga la enfermedad. ¿Cuál de las siguientes opciones es la más cercana a $p$ ?

Suppose that one of every $500$ people in a certain population has a particular disease, which displays no symptoms. A blood test is available for screening for this disease. For a person who has this disease, the test always turns out positive.

For a person who does not have the disease, however, there is a $2\%$ false positive rate. In other words, for such people, $98\%$ of the time the test will turn out negative, but $2\%$ of the time the test will turn out positive and will incorrectly indicate that the person has the disease.

Let $p$ be the probability that a person who is chosen at random from this population and gets a positive test result actually has the disease. Which of the following is closest to $p?$

$\dfrac{1}{98}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{11}$

$\dfrac{49}{99}$

$\dfrac{98}{99}$

Conceptos:probabilidad condicional Teorema de Bayes

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

De cada $500$ personas, aproximadamente $1$ es verdadero positivo y $10$ son falsos positivos.

Out of $500$ people, about $1$ true positive and $10$ false positives occur

Pista grande:

Condiciona sobre que el resultado sea positivo.

Condition on the test being positive

Solución:

Entre $500$ personas, aproximadamente $1$ tiene la enfermedad y da positivo. De las $499$ personas restantes, cerca del $2\%$ da un falso positivo, lo que equivale a unas $10$ personas.

Así, entre aproximadamente $11$ resultados positivos, solo cerca de $1$ es un verdadero positivo. La probabilidad es la más cercana a $\dfrac1{11}$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Among $500$ people, about $1$ person has the disease and tests positive. Of the remaining $499$ people, about $2\%$ test falsely positive, which is about $10$ people.

So among about $11$ positive tests, only about $1$ is a true positive. The probability is closest to $\dfrac1{11}$ .

Thus, C is the correct answer.

19.

En el rectángulo $ABCD,$ $AB=6,$ $AD=30,$ y $G$ es el punto medio de $\overline{AD}.$ El segmento $AB$ se extiende $2$ unidades más allá de $B$ hasta el punto $E,$ y $F$ es la intersección de $\overline{ED}$ y $\overline{BC}.$ ¿Cuál es el área del cuadrilátero $BFDG$ ?

In rectangle $ABCD,$ $AB=6,$ $AD=30,$ and $G$ is the midpoint of $\overline{AD}.$ Segment $AB$ is extended $2$ units beyond $B$ to point $E,$ and $F$ is the intersection of $\overline{ED}$ and $\overline{BC}.$ What is the area of quadrilateral $BFDG?$

$\dfrac{133}{2}$

$67$

$\dfrac{135}{2}$

$68$

$\dfrac{137}{2}$

Conceptos:semejanza trapecio área

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Usa los triángulos semejantes $EBF$ y $EAD$ .

Use similar triangles $EBF$ and $EAD$

Pista grande:

El cuadrilátero $BFDG$ es un trapecio de altura $6$ .

Quadrilateral $BFDG$ is a trapezoid with height $6$

Solución:

El polígono $BFDG$ es un trapecio con bases $DG$ y $BF$ y altura $6.$ Además, como $G$ es el punto medio entre $A$ y $D,$ tenemos $GD= 15.$

Vemos que $EBF \sim EAD ,$ así que $\dfrac{BF}{AD} = \dfrac{EB}{EA}$ $\dfrac{BF}{30} = \dfrac 28$ $BF = 7.5$

Esto hace que el área de $BFDG$ sea $\dfrac{6(15+7.5)}2 = \dfrac{135}2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The polygon $BFDG$ is a trapezoid with bases $DG$ and $BF$ and height $6.$ Also, since $G$ is the midpoint between $A$ and $D,$ we have $GD= 15.$

We can see that $EBF \sim EAD ,$ so $\dfrac{BF}{AD} = \dfrac{EB}{EA}$ $\dfrac{BF}{30} = \dfrac 28$ $BF = 7.5$

This makes the area of $BFDG$ equal to $\dfrac{6(15+7.5)}2 = \dfrac{135}2.$

Thus, the correct answer is C .

20.

Bernardo y Silvia juegan el siguiente juego. Se selecciona un entero entre $0$ y $999$ inclusive y se le da a Bernardo. Cada vez que Bernardo recibe un número, lo duplica y pasa el resultado a Silvia. Cada vez que Silvia recibe un número, le suma $50$ y pasa el resultado a Bernardo. El ganador es la última persona que produce un número menor que $1000.$

Sea $N$ el menor número inicial que produce una victoria para Bernardo. ¿Cuál es la suma de los dígitos de $N$ ?

Bernardo and Silvia play the following game. An integer between $0$ and $999$ inclusive is selected and given to Bernardo. Whenever Bernardo receives a number, he doubles it and passes the result to Silvia. Whenever Silvia receives a number, she adds $50$ to it and passes the result to Bernardo. The winner is the last person who produces a number less than $1000.$

Let $N$ be the smallest initial number that results in a win for Bernardo. What is the sum of the digits of $N?$

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Conceptos:recursión desigualdad dígitos

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Trabaja hacia atrás desde el menor número inicial que hace ganar a Bernardo.

Work backward from the smallest initial number that makes Bernardo win

Pista grande:

Los umbrales sucesivos se hallan comparando $2n+50$ con el umbral anterior.

Repeated thresholds are found by solving $2n+50$ against the previous threshold

Solución:

Si el número inicial es $x,$ las salidas sucesivas de Bernardo son $\begin{gathered} 2x,\quad4x+100,\quad8x+300,\\ 16x+700,\quad32x+1500. \end{gathered}$ La salida de Silvia después de cada una de estas es $50$ mayor. Bernardo gana en un turno exactamente cuando su salida es menor que $1000$ , pero la siguiente salida de Silvia es por lo menos $1000.$

Para los primeros cuatro turnos de Bernardo, el menor entero $x$ que satisface ambas desigualdades es, respectivamente, $475,213,82,$ y $16.$ Una quinta salida de Bernardo ya es por lo menos $1500.$ Por tanto, el menor número inicial ganador es $N=16,$ cuya suma de cifras es $1+6=7.$

Así, la respuesta correcta es A.

If the initial number is $x,$ Bernardo’s successive outputs are $\begin{gathered} 2x,\quad4x+100,\quad8x+300,\\ 16x+700,\quad32x+1500. \end{gathered}$ Silvia’s output after each of these is $50$ larger. Bernardo wins on a given turn exactly when his output is below $1000$ but the following output from Silvia is at least $1000.$

For the first four Bernardo turns, the smallest integer $x$ satisfying those two inequalities is, respectively, $475,213,82,$ and $16.$ A fifth Bernardo output is already at least $1500.$ Thus the smallest winning initial number is $N=16,$ whose digit sum is $1+6=7.$

Thus, the correct answer is A .

21.

Cuatro puntos distintos están dispuestos en un plano de modo que los segmentos que los conectan tienen longitudes $a,$ $a,$ $a,$ $a,$ $2a,$ y $b.$ ¿Cuál es la razón de $b$ a $a$ ?

Four distinct points are arranged in a plane so that the segments connecting them have lengths $a,$ $a,$ $a,$ $a,$ $2a,$ and $b.$ What is the ratio of $b$ to $a?$

$\sqrt{3}$

$2$

$\sqrt{5}$

$3$

$\pi$

Conceptos:triángulo equilátero ángulo inscrito Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Tres de las cuatro aristas de longitud $a$ forman un triángulo equilátero.

Three of the four length- $a$ edges form an equilateral triangle

Pista grande:

El punto restante forma un triángulo rectángulo con hipotenusa $2a$ y un cateto $a$ .

The remaining point creates a right triangle with hypotenuse $2a$ and one leg $a$

Solución:

Consideremos los cuatro segmentos de longitud $a$ como aristas de un grafo sobre los cuatro puntos. Si no contuvieran un triángulo, formarían un ciclo de $4$ vértices. El segmento de longitud $2a$ sería entonces una de sus diagonales. Cada uno de los otros dos puntos daría un camino de dos aristas, de longitud total $2a$ , entre los extremos de la diagonal. La igualdad en la desigualdad triangular obligaría a que ambos puntos intermedios fueran el punto medio de esa diagonal, lo que contradice que los cuatro puntos sean distintos. Por tanto, tres puntos forman un triángulo equilátero de lado $a;$ llamémoslos $A,B,C.$

El cuarto punto $D$ está a distancia $a$ de uno de ellos, digamos $A,$ y a distancia $2a$ de otro, digamos $B.$ Como $BA+AD=BD,$ los puntos $B,A,D$ son colineales y $A$ es el punto medio de $\overline{BD}.$ Así, $BD$ es un diámetro del círculo que pasa por $B,C,D$ y tiene centro en $A,$ por lo que $\triangle BCD$ es rectángulo.

Así, $b^2=(2a)^2-a^2=3a^2$ , de modo que $\frac{b}{a}=\sqrt3$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Regard the four length- $a$ segments as edges of a graph on the four points. If they contained no triangle, they would form a $4$ -cycle. The length- $2a$ segment would then be one of its diagonals. Each of the other two points gives a two-edge path of total length $2a$ between the diagonal’s endpoints. Equality in the triangle inequality would force both intermediate points to be the midpoint of that diagonal, contradicting that the four points are distinct. Therefore three points do form an equilateral triangle of side $a;$ call them $A,B,C.$

The fourth point $D$ is distance $a$ from one of these points, say $A,$ and distance $2a$ from another, say $B.$ Because $BA+AD=BD,$ the points $B,A,D$ are collinear and $A$ is the midpoint of $\overline{BD}.$ Thus $BD$ is a diameter of the circle through $B,C,D$ centered at $A,$ so $\triangle BCD$ is right.

Thus $b^2=(2a)^2-a^2=3a^2$ , so $\frac{b}{a}=\sqrt3$ .

Thus, A is the correct answer.

22.

Sea $(a_1,a_2,\ldots,a_{10})$ una lista de los primeros $10$ enteros positivos tal que, para cada $2\le i\le10$ , $a_i + 1$ o $a_i-1$ , o ambos, aparece antes que $a_i$ en la lista. ¿Cuántas listas de este tipo hay?

Let $(a_1,a_2,\ldots,a_{10})$ be a list of the first $10$ positive integers such that for each $2\le i\le10$ either $a_i + 1$ or $a_i-1$ or both appear somewhere before $a_i$ in the list. How many such lists are there?

$\ 120$

$512$

$\ 1024$

$181{,}440$

$362{,}880$

Conceptos:arreglos con restricciones conteo recursivo trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Al retroceder en cada paso, elimina el menor o el mayor de los números restantes.

At each reverse step, remove either the smallest or largest remaining number

Pista grande:

Hay $2$ opciones hasta que el número final queda forzado.

There are $2$ choices until the final number is forced

Solución:

Cada prefijo $a_1,a_2,\ldots,a_i$ debe formar un intervalo de enteros consecutivos: cada término nuevo debe ser uno más o uno menos que algún término ya presente. En particular, el conjunto completo es el intervalo $[1,10].$

Leamos la lista al revés. En cada paso, el término eliminado debe ser el menor o el mayor entero del intervalo actual; eliminar un término interior dejaría ese término sin un predecesor adyacente en la lista original. Recíprocamente, toda sucesión de eliminaciones de extremos produce una lista válida. Hay dos opciones para cada uno de $a_{10},a_9,\ldots,a_2,$ y después $a_1$ queda determinado. Por lo tanto, hay $2^9=512$ listas.

Así, la respuesta correcta es B.

Every prefix $a_1,a_2,\ldots,a_i$ must form an interval of consecutive integers: each new term is required to be one more or one less than a term already present. In particular, the full set is the interval $[1,10].$

Read the list backward. At each step, the term removed must be either the smallest or the largest integer in the current interval; removing an interior term would leave that term with no adjacent predecessor in the forward list. Conversely, every sequence of endpoint removals produces a valid list. There are two choices for each of $a_{10},a_9,\ldots,a_2,$ after which $a_1$ is forced. Hence there are $2^9=512$ lists.

Thus, the correct answer is B .

23.

A un cubo unitario sólido de madera se le corta un tetraedro sólido mediante un plano que pasa por dos vértices no adyacentes de una cara y por un vértice de la cara opuesta que no es adyacente a ninguno de los dos primeros. El tetraedro se descarta y la porción restante del cubo se coloca sobre una mesa con la superficie del corte hacia abajo. ¿Cuál es la altura de este objeto?

A solid tetrahedron is sliced off a solid wooden unit cube by a plane passing through two nonadjacent vertices on one face and one vertex on the opposite face not adjacent to either of the first two vertices. The tetrahedron is discarded and the remaining portion of the cube is placed on a table with the cut surface face down. What is the height of this object?

$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}$

$1$

$\dfrac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\sqrt{2}$

Conceptos:geometría del cubo volumen triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Calcula la altura del tetraedro descartado de otra manera.

Compute the discarded tetrahedron height another way

Pista grande:

Usa la fórmula del volumen con la cara triangular equilátera del corte como base.

Use its volume with the equilateral triangular cut face as the base

Solución:

El tetraedro descartado tiene como una base un triángulo rectángulo isósceles de cateto $1$ y altura $1$ , así que su volumen es $\dfrac13\cdot\dfrac12\cdot1=\dfrac16$ .

La cara del corte es un triángulo equilátero de lado $\sqrt2$ , así que su área es $\dfrac{\sqrt3}{4}(\sqrt2)^2=\dfrac{\sqrt3}{2}$ . Si $h$ es la altura desde el vértice opuesto hasta esta cara, entonces $\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot h=\dfrac16$ , de donde $h=\dfrac{\sqrt3}{3}$ .

La diagonal completa del cubo tiene longitud $\sqrt3$ . Después de quitar el tetraedro y colocar la cara del corte hacia abajo, la altura es $\sqrt3-\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The discarded tetrahedron has a right isosceles triangle of leg $1$ as one base and height $1$ , so its volume is $\dfrac13\cdot\dfrac12\cdot1=\dfrac16$ .

The cut face is an equilateral triangle of side $\sqrt2$ , so its area is $\dfrac{\sqrt3}{4}(\sqrt2)^2=\dfrac{\sqrt3}{2}$ . If $h$ is the height from the opposite vertex to this cut face, then $\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot h=\dfrac16$ , so $h=\dfrac{\sqrt3}{3}$ .

The full cube diagonal has length $\sqrt3$ . After the tetrahedron is removed and the cut face is placed down, the height is $\sqrt3-\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$ .

Thus, D is the correct answer.

24.

Amy, Beth y Jo escuchan cuatro canciones diferentes y comentan cuáles les gustan. Ninguna canción les gusta a las tres. Además, para cada uno de los tres pares de chicas, hay al menos una canción que les gusta a esas dos pero no a la tercera. ¿De cuántas maneras diferentes es esto posible?

Amy, Beth, and Jo listen to four different songs and discuss which ones they like. No song is liked by all three. Furthermore, for each of the three pairs of the girls, there is at least one song liked by those two girls but disliked by the third. In how many different ways is this possible?

$108$

$132$

$671$

$846$

$1105$

Conceptos:conteo básico análisis por casos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Clasifica según si algún par de chicas comparte dos canciones.

Case on whether one pair of girls shares two songs

Pista grande:

Si cada par comparte exactamente una canción, la cuarta canción puede gustarle a una chica o a ninguna.

The fourth song in the first case can be liked by one girl or by none

Solución:

Hay dos casos: cada par comparte exactamente una canción que les gusta, o algún par comparte $2$ canciones que les gustan. Esto se debe a que cada par debe compartir al menos $1$ canción, y cualquier coincidencia adicional a las de estos casos requeriría $5$ canciones.

Caso $1:$ Cada par tiene exactamente una canción que les gusta en común

Hay $4$ formas de elegir la canción que le gusta a un par, $3$ formas de elegir la del segundo par y $2$ formas de elegir la del tercer par si fijamos algún orden para ellos. Luego, para la última canción, a uno de ellos podría gustarle, lo que da $3$ casos, o a ninguno le gusta, que es otro caso. Así, el número de soluciones en este caso es $4\cdot 3\cdot 2\cdot (3+1)=96.$

Caso $2:$ Algún par tiene $2$ canciones que les gustan en común

Hay $3$ formas de elegir el par que comparte $2$ canciones que les gustan. Luego hay $\binom 42 = 6$ formas de elegir cuáles dos canciones les gustan. Finalmente, hay $2! =2$ formas de asignar las dos canciones restantes a los otros dos pares. Así, el número de soluciones en este caso es $3\cdot 6\cdot 2=36$

Entonces el total es $96+36 = 132.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are two cases: Each pair has exactly one liked song in common, or some pair has $2$ liked songs in common. This is because each pair must have at least $1$ liked song in common, and any more pairs than in the cases would result in $5$ songs.

Case $1:$ Each pair has exactly one liked song in common

There are $4$ ways to choose the song that one pair likes, $3$ ways to choose the song that the second pair likes, and $2$ ways to choose the song the third pair likes if we choose some order for them. Then, for the last song, one of them could like it which has $3$ cases or none of them likes it which is another case. Thus, the number of solutions in this case is $4\cdot 3\cdot 2\cdot (3+1)=96.$

Case $2:$ Some pair has $2$ liked songs in common

There are $3$ ways to choose the pair that has $2$ liked songs in common. Then, there are $\binom 42 = 6$ ways to choose which two songs they like. Finally, there are $2! =2$ ways to assign the two remaining songs to the other two pairs. Thus, the number of solutions in this case is $3\cdot 6\cdot 2=36$

The total amount is then $96+36 = 132.$

Thus, the correct answer is B .

25.

Un insecto viaja de $A$ a $B$ a lo largo de los segmentos de la retícula hexagonal que se muestra abajo. Los segmentos marcados con una flecha solo pueden recorrerse en la dirección de la flecha, y el insecto nunca recorre el mismo segmento más de una vez. ¿Cuántos caminos diferentes hay?

A bug travels from $A$ to $B$ along the segments in the hexagonal lattice pictured below. The segments marked with an arrow can be traveled only in the direction of the arrow, and the bug never travels the same segment more than once. How many different paths are there?

$2112$

$2304$

$2368$

$2384$

$2400$

Conceptos:caminos reticulares análisis por casos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Clasifica los caminos según qué flechas hacia atrás usan.

Classify paths by which backward arrows they use

Pista grande:

Sin flechas hacia atrás, el número de opciones por columna es $2,2,4,4,4,2,2$ .

The no-backward-arrow case has $2,2,4,4,4,2,2$ choices by column

Solución:

Clasifica un camino según el conjunto $S$ de flechas hacia atrás que usa. Si $S=\varnothing$ , el camino queda determinado al elegir una flecha hacia adelante en cada columna, lo que da $2\cdot2\cdot4\cdot4\cdot4\cdot2\cdot2=2^{10}$ caminos.

Si $S$ usa solo la flecha hacia atrás izquierda, hay $2^8$ caminos, y por simetría lo mismo si usa solo la derecha. Si usa ambas flechas exteriores hacia atrás pero no la del medio, hay $2^6$ caminos.

Si $S$ usa solo la flecha hacia atrás del medio, hay $2^9$ caminos. Si usa la flecha del medio y exactamente una flecha exterior hacia atrás, hay $2^7$ caminos por cada elección de flecha exterior. Si usa las tres flechas hacia atrás, hay $2^5$ caminos.

El total es $2^{10}$ $+2\cdot2^8$ $+2^6$ $+2^9$ $+2\cdot2^7$ $+2^5=2400$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Classify a path by the set $S$ of backward arrows it uses. If $S=\varnothing$ , the path is determined by choosing one forward arrow in each column, giving $2\cdot2\cdot4\cdot4\cdot4\cdot2\cdot2=2^{10}$ paths.

If $S$ uses only the left backward arrow, there are $2^8$ paths, and by symmetry the same for only the right backward arrow. If it uses both outer backward arrows but not the middle one, there are $2^6$ paths.

If $S$ uses only the middle backward arrow, there are $2^9$ paths. If it uses the middle arrow and exactly one outer backward arrow, there are $2^7$ paths for each choice of outer arrow. If it uses all three backward arrows, there are $2^5$ paths.

The total is $2^{10}$ $+2\cdot2^8$ $+2^6$ $+2^9$ $+2\cdot2^7$ $+2^5=2400$ .

Thus, E is the correct answer.