Question

Un niño construye torres usando cubos de forma idéntica pero de distintos colores. ¿Cuántas torres diferentes de altura $8$ cubos puede construir el niño con $2$ cubos rojos, $3$ cubos azules y $4$ cubos verdes? (Se dejará fuera un cubo.)

A child builds towers using identically shaped cubes of different colors. How many different towers with a height $8$ cubes can the child build with $2$ red cubes, $3$ blue cubes, and $4$ green cubes? (One cube will be left out.)

$24$

$288$

$312$

$1,260$

$40,320$

Solución:

Toda torre de altura $8$ pudo haberse formado creando una torre de altura $9$ y quitando el cubo superior.

Esto muestra que hay una correspondencia uno a uno entre las torres de altura $8$ y $9.$

Hay $9!$ maneras de hacer una torre de altura $9,$ pero estamos contando de más, ya que hay varios cubos del mismo color.

Tenemos que dividir entre las $2!$ maneras de ordenar los cubos rojos, $3!$ para los cubos azules y $4!$ para los cubos verdes.

Por lo tanto, el número de disposiciones válidas es $\dfrac{9!}{2! \cdot 3! \cdot 4!} = 1,260.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Every tower of height $8$ could have been formed by creating a tower of height $9$ and removing the top cube.

This shows that there is a one-to-one correspondence between towers of height $8$ and $9.$

There are $9!$ ways to make a tower of height $9,$ but we are overcounting since there are multiple cubes of the same color.

We have to divide through by $2!$ ways to arrange the red cubes, $3!$ for the blue cubes, and $4!$ for the green cubes.

Therefore, the number of valid arrangements is $\dfrac{9!}{2! \cdot 3! \cdot 4!} = 1,260.$

Thus, D is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años