Question

Todos los números $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7$ se asignan a las seis caras de un cubo, un número a cada cara. Para cada uno de los ocho vértices del cubo, se calcula un producto de tres números, donde los tres números son los asignados a las tres caras que incluyen ese vértice. ¿Cuál es el mayor valor posible de la suma de estos ocho productos?

All the numbers $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7$ are assigned to the six faces of a cube, one number to each face. For each of the eight vertices of the cube, a product of three numbers is computed, where the three numbers are the numbers assigned to the three faces that include that vertex. What is the greatest possible value of the sum of these eight products?

$\ 312$

$\ 343$

$\ 625$

$\ 729$

$\ 1680$

Solución:

Empareja las caras opuestas como $(a_1,a_2)$ , $(b_1,b_2)$ y $(c_1,c_2)$ . Cada producto de vértice usa un número de cada par, así que la suma de los ocho productos de vértice es $(a_1+a_2)(b_1+b_2)(c_1+c_2).$

Las seis etiquetas de las caras suman $2+3+4+5+6+7=27$ , así que las tres sumas de pares opuestos tienen un total de $27$ . Su producto se maximiza cuando las sumas son lo más iguales posible, es decir $9,9,9$ , dando como máximo $9^3=729$ .

Este máximo se alcanza emparejando $2$ con $7$ , $3$ con $6$ y $4$ con $5$ . Por lo tanto, la mayor suma posible es $729$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Pair opposite faces as $(a_1,a_2)$ , $(b_1,b_2)$ , and $(c_1,c_2)$ . Each vertex product uses one number from each pair, so the sum of all eight vertex products is $(a_1+a_2)(b_1+b_2)(c_1+c_2).$

The six face labels sum to $2+3+4+5+6+7=27$ , so the three opposite-pair sums have total $27$ . Their product is maximized when the sums are as equal as possible, namely $9,9,9$ , giving at most $9^3=729$ .

This maximum is attainable by pairing $2$ with $7$ , $3$ with $6$ , and $4$ with $5$ . Hence the greatest possible sum is $729$ .

Thus, the correct answer is D.

2016 AMC 10B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años