Question

¿De cuántas maneras se puede escribir $345$ como la suma de una sucesión creciente de dos o más enteros positivos consecutivos?

In how many ways can $345$ be written as the sum of an increasing sequence of two or more consecutive positive integers?

$\ 1$

$\ 3$

$\ 5$

$\ 6$

$\ 7$

Solución:

Supongamos que la sucesión tiene longitud $s$ y primer término $x$ . Entonces $345=s\left(x+\frac{s-1}{2}\right),$ o bien $s(2x+s-1)=690.$

Así, $s$ debe ser un divisor de $690$ , con $x=\frac{690/s-s+1}{2}$ un entero positivo. Al revisar las posibles longitudes divisoras se obtiene $s=2,3,5,6,10,15,23.$ Estas son las únicas longitudes que mantienen $x$ positivo y entero.

Por lo tanto, hay $7$ representaciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Suppose the sequence has length $s$ and first term $x$ . Then $345=s\left(x+\frac{s-1}{2}\right),$ or $s(2x+s-1)=690.$

Thus $s$ must be a divisor of $690$ , with $x=\frac{690/s-s+1}{2}$ a positive integer. Checking the possible divisor lengths gives $s=2,3,5,6,10,15,23.$ These are the only lengths that keep $x$ positive and integral.

Therefore there are $7$ representations.

Thus, the correct answer is E.

2016 AMC 10B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años