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2013 AMC 10A Problema 18

Intenta el Problema 18 del 2013 AMC 10A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2013 AMC 10A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

18.

Sean los puntos A=(0,0),A=(0,0), B=(1,2),B=(1,2), C=(3,3),C=(3,3), y D=(4,0).D=(4,0). El cuadrilátero ABCDABCD se divide en dos partes de igual área mediante una recta que pasa por A.A. Esta recta corta a CD‾\overline{CD} en el punto (pq,rs),\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right), donde las fracciones están reducidas. ¿Cuánto vale p+q+r+sp+q+r+s?
Let points A=(0,0),A=(0,0), B=(1,2),B=(1,2), C=(3,3),C=(3,3), and D=(4,0).D=(4,0). Quadrilateral ABCDABCD is cut into equal area pieces by a line passing through A.A. This line intersects CD‾\overline{CD} at point (pq,rs),\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right), where these fractions are in lowest terms. What is p+q+r+s?p+q+r+s?
5454
5858
6262
7070
7575
Respuesta: B
Conceptos:geometría analíticadescomposición de áreasecuación lineal
Nivel de dificultad: 1660
Pista pequeña:
Primero calcula el área total de ABCDABCD.
First compute the total area of ABCDABCD
Pista grande:
La recta de corte que pasa por AA hace que △ADG\triangle ADG sea la mitad del área del cuadrilátero.
The cutting line through AA makes △ADG\triangle ADG half the quadrilateral area
Solución:
Sea GG el punto donde la recta de corte encuentra a CD‾\overline{CD}. Traza perpendiculares desde BB, CC, y GG hasta el eje xx, como en el diagrama.
Las áreas de △ABF\triangle ABF, el trapecio BCEFBCEF, y △CDE\triangle CDE son 11, 55, y 32\frac32, respectivamente, así que [ABCD]=152[ABCD]=\frac{15}{2}.
Por lo tanto △ADG\triangle ADG tiene área 154\frac{15}{4}. Como AD=4AD=4, la altura de GG es 158\frac{15}{8}.
La recta CDCD tiene ecuación y=−3x+12y=-3x+12, así que 158=−3x+12\frac{15}{8}=-3x+12, lo que da x=278x=\frac{27}{8}. Por lo tanto p+q+r+sp+q+r+s =27+8+15+8=27+8+15+8 =58=58.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
Let the cutting line meet CD‾\overline{CD} at GG. Drop perpendiculars from BB, CC, and GG to the xx-axis as in the diagram.
The areas of △ABF\triangle ABF, trapezoid BCEFBCEF, and △CDE\triangle CDE are 11, 55, and 32\frac32, respectively, so [ABCD]=152[ABCD]=\frac{15}{2}.
Thus △ADG\triangle ADG has area 154\frac{15}{4}. Since AD=4AD=4, the height of GG is 158\frac{15}{8}.
The line CDCD has equation y=−3x+12y=-3x+12, so 158=−3x+12\frac{15}{8}=-3x+12, giving x=278x=\frac{27}{8}. Therefore p+q+r+sp+q+r+s =27+8+15+8=27+8+15+8 =58=58.
Thus, B is the correct answer.
Problema 17#17
Examen completo
Problema 19#19

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