Question

Henry decide una mañana hacer ejercicio, y camina

\tfrac{3}{4}

del trayecto desde su casa hasta su gimnasio. El gimnasio está a

2

kilómetros de la casa de Henry. En ese punto, cambia de opinión y camina

\tfrac{3}{4}

del trayecto desde donde está de vuelta hacia casa. Cuando llega a ese punto, cambia de opinión otra vez y camina

\tfrac{3}{4}

de la distancia desde ahí de vuelta hacia el gimnasio. Si Henry sigue cambiando de opinión cada vez que ha caminado

\tfrac{3}{4}

de la distancia hacia el gimnasio o hacia casa desde el punto donde cambió de opinión por última vez, se acercará mucho a caminar de ida y vuelta entre un punto a

A

kilómetros de casa y un punto a

B

kilómetros de casa. ¿Cuánto vale

|A-B|

?

Henry decides one morning to do a workout, and he walks

\tfrac{3}{4}

of the way from his home to his gym. The gym is

2

kilometers away from Henry’s home. At that point, he changes his mind and walks

\tfrac{3}{4}

of the way from where he is back toward home. When he reaches that point, he changes his mind again and walks

\tfrac{3}{4}

of the distance from there back toward the gym. If Henry keeps changing his mind when he has walked

\tfrac{3}{4}

of the distance toward either the gym or home from the point where he last changed his mind, he will get very close to walking back and forth between a point

A

kilometers from home and a point

B

kilometers from home. What is

|A-B|?

\frac{2}{3}

1

1 \frac{1}{5}

1 \frac{1}{4}

1 \frac{1}{2}

Respuesta: C

Conceptos:recursión ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Estudia la transformación de dos pasos que va de un punto de retorno de vuelta a la misma dirección.

Study the two-step map from one turnaround point back to the same direction

Pista grande:

En el punto límite, aplicar esa transformación de dos pasos no cambia nada.

At the limiting point, applying that two-step map changes nothing

Solución:

Supón que un punto límite de regreso hacia casa está a

x

kilómetros de casa. Después de que Henry camina hacia el gimnasio, su posición es

2-\frac{2-x}{4}=\frac32+\frac{x}{4}.

Cuando se da la vuelta hacia casa, le queda una cuarta parte de esa distancia, así que su siguiente punto de regreso hacia casa es

\frac14\left(\frac32+\frac{x}{4}\right)=\frac38+\frac{x}{16}.

En el punto límite, aplicar esta transformación de dos pasos no cambia la posición, así que

x=\frac38+\frac{x}{16},

lo que da

x=\frac25

.

El otro punto límite es la posición alcanzada después de caminar hacia el gimnasio:

2-\frac{2-\frac25}{4}=\frac85.

Por lo tanto

|A-B|=\frac85-\frac25=\frac65=1\frac15.

Así, la respuesta correcta es C.

Suppose a limiting homeward turnaround point is

x

kilometers from home. After Henry walks toward the gym, his position is

2-\frac{2-x}{4}=\frac32+\frac{x}{4}.

After he turns back toward home, one quarter of that distance remains, so his next homeward turnaround point is

\frac14\left(\frac32+\frac{x}{4}\right)=\frac38+\frac{x}{16}.

At the limiting point this two-step map leaves the position unchanged, so

x=\frac38+\frac{x}{16},

which gives

x=\frac25

.

The other limiting point is the position reached after walking toward the gym:

2-\frac{2-\frac25}{4}=\frac85.

Therefore

|A-B|=\frac85-\frac25=\frac65=1\frac15.

Thus, the correct answer is C .

2019 AMC 10B Problema 18

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años