Question

Una urna contiene una bola roja y una bola azul. Cerca hay una caja de bolas rojas y azules adicionales. George realiza la siguiente operación cuatro veces: saca una bola de la urna al azar, luego toma una bola del mismo color de la caja y devuelve esas dos bolas iguales a la urna. Después de las cuatro iteraciones, la urna contiene seis bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que la urna contenga tres bolas de cada color?

An urn contains one red ball and one blue ball. A box of extra red and blue balls lie nearby. George performs the following operation four times: he draws a ball from the urn at random and then takes a ball of the same color from the box and returns those two matching balls to the urn. After the four iterations the urn contains six balls. What is the probability that the urn contains three balls of each color?

$\dfrac16$

$\dfrac15$

$\dfrac14$

$\dfrac13$

$\dfrac12$

Solución:

La urna termina con tres bolas rojas y tres azules exactamente cuando las cuatro extracciones contienen dos extracciones rojas y dos azules. Hay $\binom42=6$ órdenes de colores posibles de este tipo.

Para cualquier orden fijo con dos extracciones rojas y dos azules, la probabilidad es $\frac{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30},$ porque la primera y la segunda extracción de cada color tienen numeradores $1$ y $2$ , mientras que el número total de bolas antes de las cuatro extracciones es $2,3,4,5$ .

Así, la probabilidad buscada es $6\cdot\frac{1}{30}=\frac15$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The urn ends with three red and three blue balls exactly when the four draws contain two red draws and two blue draws. There are $\binom42=6$ possible color orders of this type.

For any fixed order with two red draws and two blue draws, the probability is $\frac{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30},$ because the first and second draws of each color have numerators $1$ and $2$ , while the total number of balls before the four draws is $2,3,4,5$ .

Thus the desired probability is $6\cdot\frac{1}{30}=\frac15$ .

Thus, the correct answer is B .

2020 AMC 10B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años