Question

Un triángulo rectángulo tiene perímetro $32$ y área $20.$ ¿Cuál es la longitud de su hipotenusa?

A right triangle has perimeter $32$ and area $20.$ What is the length of its hypotenuse?

$\dfrac{57}{4}$

$\dfrac{59}{4}$

$\dfrac{61}{4}$

$\dfrac{63}{4}$

$\dfrac{65}{4}$

Sean $y, z$ los catetos y $x$ la hipotenusa. Entonces $y^2 + z^2 = x^2,$ $y + z = 32 - x,$ y $yz = 40.$

Elevando al cuadrado la segunda ecuación, $\begin{aligned} &(32 - x)^2 \\ &\quad = y^2 + z^2 + 2yz = x^2 + 80. \end{aligned}$

Esto da $1024 - 64x = 80,$ así que $x = \dfrac{59}{4}.$

Así, la respuesta correcta es B.

Let the legs be $y, z$ and the hypotenuse $x.$ Then $y^2 + z^2 = x^2,$ $y + z = 32 - x,$ and $yz = 40.$

Squaring the second equation, $\begin{aligned} &(32 - x)^2 \\ &\quad = y^2 + z^2 + 2yz = x^2 + 80. \end{aligned}$

This gives $1024 - 64x = 80,$ so $x = \dfrac{59}{4}.$

Thus, the correct answer is B.