Question

En el triángulo rectángulo

\triangle ACE,

tenemos

AC = 12,

CE = 16,

y

EA = 20.

Los puntos

B,

D,

y

F

están ubicados en

AC,

CE,

y

EA,

respectivamente, de modo que

AB = 3,

CD = 4,

y

EF = 5.

¿Cuál es la razón entre el área de

\triangle BDF

y la de

\triangle ACE

?

In right triangle

\triangle ACE,

we have

AC = 12,

CE = 16,

and

EA = 20.

Points

B,

D,

and

F

are located on

AC,

CE,

and

EA,

respectively, so that

AB = 3,

CD = 4,

and

EF = 5.

What is the ratio of the area of

\triangle BDF

to that of

\triangle ACE?

\dfrac{1}{4}

\dfrac{9}{25}

\dfrac{3}{8}

\dfrac{11}{25}

\dfrac{7}{16}

Respuesta: E

Conceptos:razón de áreas descomposición de áreas área del triángulo

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

El área de

\triangle ACE

es

\tfrac12(12)(16) = 96

.

The area of

\triangle ACE

is

\tfrac12(12)(16) = 96

Pista grande:

Resta los tres triángulos de las esquinas; cada uno tiene una base y una altura que son fracciones conocidas de las del triángulo grande.

Subtract the three corner triangles; each has a base and height that are known fractions of the big triangle’s

Solución:

El área de

\triangle ACE

es

\tfrac12(12)(16) = 96.

Cada triángulo de esquina

\triangle ABF,

\triangle BCD,

y

\triangle DEF

tiene una base y una altura que son

\tfrac34

y

\tfrac14

de una base y altura correspondientes de

\triangle ACE.

Así que cada uno tiene área

\tfrac14 \cdot \tfrac34 = \tfrac{3}{16}

de

\triangle ACE.

Por lo tanto

\begin{aligned} \dfrac{[BDF]}{[ACE]} &= 1 - 3 \cdot \dfrac{3}{16} \\ &= 1 - \dfrac{9}{16} = \dfrac{7}{16}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The area of

\triangle ACE

is

\tfrac12(12)(16) = 96.

Each corner triangle

\triangle ABF,

\triangle BCD,

and

\triangle DEF

has a base and an altitude that are

\tfrac34

and

\tfrac14

of a corresponding base and altitude of

\triangle ACE.

So each has area

\tfrac14 \cdot \tfrac34 = \tfrac{3}{16}

of

\triangle ACE.

Hence

\begin{aligned} \dfrac{[BDF]}{[ACE]} &= 1 - 3 \cdot \dfrac{3}{16} \\ &= 1 - \dfrac{9}{16} = \dfrac{7}{16}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is E.

2004 AMC 10B Problema 18

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años