Question

En el triángulo rectángulo $\triangle ACE,$ tenemos $AC = 12,$ $CE = 16,$ y $EA = 20.$ Los puntos $B, D,$ y $F$ están ubicados en $AC, CE,$ y $EA,$ respectivamente, de modo que $AB = 3,$ $CD = 4,$ y $EF = 5.$ ¿Cuál es la razón entre el área de $\triangle BDF$ y la de $\triangle ACE$ ?

In right triangle $\triangle ACE,$ we have $AC = 12,$ $CE = 16,$ and $EA = 20.$ Points $B, D,$ and $F$ are located on $AC, CE,$ and $EA,$ respectively, so that $AB = 3,$ $CD = 4,$ and $EF = 5.$ What is the ratio of the area of $\triangle BDF$ to that of $\triangle ACE?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{9}{25}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{11}{25}$

$\dfrac{7}{16}$

Solución:

El área de $\triangle ACE$ es $\tfrac12(12)(16) = 96.$

Cada triángulo de esquina $\triangle ABF,$ $\triangle BCD,$ y $\triangle DEF$ tiene una base y una altura que son $\tfrac34$ y $\tfrac14$ de una base y altura correspondientes de $\triangle ACE.$ Así que cada uno tiene área $\tfrac14 \cdot \tfrac34 = \tfrac{3}{16}$ de $\triangle ACE.$

Por lo tanto $\begin{aligned} \dfrac{[BDF]}{[ACE]} &= 1 - 3 \cdot \dfrac{3}{16} \\ &= 1 - \dfrac{9}{16} = \dfrac{7}{16}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The area of $\triangle ACE$ is $\tfrac12(12)(16) = 96.$

Each corner triangle $\triangle ABF,$ $\triangle BCD,$ and $\triangle DEF$ has a base and an altitude that are $\tfrac34$ and $\tfrac14$ of a corresponding base and altitude of $\triangle ACE.$ So each has area $\tfrac14 \cdot \tfrac34 = \tfrac{3}{16}$ of $\triangle ACE.$

Hence $\begin{aligned} \dfrac{[BDF]}{[ACE]} &= 1 - 3 \cdot \dfrac{3}{16} \\ &= 1 - \dfrac{9}{16} = \dfrac{7}{16}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

2004 AMC 10B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años