Question

Los círculos $A, B,$ y $C$ tienen radio uno cada uno. Los círculos $A$ y $B$ comparten un punto de tangencia. El círculo $C$ tiene un punto de tangencia con el punto medio de $\overline{AB}.$ ¿Cuál es el área que está dentro del círculo $C$ pero fuera del círculo $A$ y del círculo $B$ ?

Circles $A, B,$ and $C$ each have radius 1. Circles $A$ and $B$ share one point of tangency. Circle $C$ has a point of tangency with the midpoint of $\overline{AB}.$ What is the area inside circle $C$ but outside circle $A$ and circle $B?$

$3 - \dfrac{\pi}{2}$

$\dfrac{\pi}{2}$

$2$

$\dfrac{3\pi}{4}$

$1+\dfrac{\pi}{2}$

Solución:

El área de esta región es el área del círculo $C$ menos el área de las regiones que se superponen con $A$ y $B.$

A partir del diagrama, podemos hallar el área de la mitad de una de las regiones superpuestas hallando el área del sector y restando el área del triángulo.

Esta área es entonces $\dfrac{1}{4} \pi \cdot 1^2 - \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2}.$

Hay cuatro de estas que debemos restar, lo que nos deja una respuesta final de $\pi \cdot 1^2 - 4(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2}) = 2.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The area of this region is the area of circle $C$ minus the area of the overlapping regions with $A$ and $B.$

From the diagram, we can find the area of half of one of the overlapping regions by finding the area of the sector and subtracting the area of the triangle.

This area is then $\dfrac{1}{4} \pi \cdot 1^2 - \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2}.$

There are four of these that we must subtract, which leaves us with a final answer of $\pi \cdot 1^2 - 4(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2}) = 2.$

Thus, C is the correct answer.

2011 AMC 10A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años