Question

Cada vértice de un cubo debe etiquetarse con un entero del $1$ al $8$ , usando cada entero una vez, de modo que la suma de los cuatro números en los vértices de una cara sea la misma para cada cara. Los arreglos que se pueden obtener uno de otro mediante rotaciones del cubo se consideran iguales. ¿Cuántos arreglos diferentes son posibles?

Each vertex of a cube is to be labeled with an integer $1$ through $8,$ with each integer being used once, in such a way that the sum of the four numbers on the vertices of a face is the same for each face. Arrangements that can be obtained from each other through rotations of the cube are considered to be the same. How many different arrangements are possible?

$1$

$3$

$6$

$12$

$24$

Solución:

Dos caras opuestas juntas usan las ocho etiquetas, cuya suma es $36$ , así que cada cara debe sumar $18$ .

Coloca la etiqueta $1$ en un vértice, y sean $a,b,c$ las tres etiquetas adyacentes. Los tres vértices adyacentes a esos, a través de las caras, quedan forzados a ser $\begin{gathered} 17-a-b, \\ \quad 17-a-c, \\ \quad 17-b-c, \end{gathered}$ y el vértice opuesto es $a+b+c-16$ .

Supón que las tres etiquetas vecinas se listan en orden creciente. Al revisar las ternas posibles de $2,3,\ldots,8$ , las ternas válidas son $(4,6,8)$ , $(4,7,8)$ y $(6,7,8)$ . Cada una da dos arreglos no equivalentes por rotación, así que hay $3\cdot2=6$ arreglos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Opposite faces together use all eight labels, whose sum is $36$ , so every face must have sum $18$ .

Put label $1$ at one vertex, and let the three adjacent labels be $a,b,c$ . The three vertices adjacent to those across faces are then forced to be $\begin{gathered} 17-a-b, \\ \quad 17-a-c, \\ \quad 17-b-c, \end{gathered}$ and the opposite vertex is $a+b+c-16$ .

Assume the three neighbor labels are listed in increasing order. Checking possible triples from $2,3,\ldots,8$ , the valid triples are $(4,6,8)$ , $(4,7,8)$ , and $(6,7,8)$ . Each gives two non-rotationally equivalent arrangements, so there are $3\cdot2=6$ arrangements.

Thus, the correct answer is C.

2016 AMC 10A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años