Question

En el rectángulo $ABCD$ , $AB=6$ y $BC=3$ . El punto $E$ está entre $B$ y $C$ , y el punto $F$ está entre $E$ y $C$ de modo que $BE=EF=FC$ . Los segmentos $\overline{AE}$ y $\overline{AF}$ cortan a $\overline{BD}$ en $P$ y $Q$ , respectivamente.

La razón $BP:PQ:QD$ se puede escribir como $r:s:t$ , donde el máximo común divisor de $r,s,$ y $t$ es $1$ . ¿Cuánto vale $r+s+t$ ?

In rectangle $ABCD,$ $AB=6$ and $BC=3.$ Point $E$ between $B$ and $C,$ and point $F$ between $E$ and $C$ are such that $BE=EF=FC.$ Segments $\overline{AE}$ and $\overline{AF}$ intersect $\overline{BD}$ at $P$ and $Q,$ respectively.

The ratio $BP:PQ:QD$ can be written as $r:s:t$ where the greatest common factor of $r,s,$ and $t$ is $1.$ What is $r+s+t?$

$7$

$9$

$12$

$15$

$20$

Solución:

Como $BC=3$ y $BE=EF=FC$ , tenemos $BE=1$ y $BF=2$ . Además $AD=3$ .

De $\triangle APD\sim\triangle EPB$ , $\frac{BP}{BD}=\frac{BE}{AD+BE}=\frac14.$ De $\triangle AQD\sim\triangle FQB$ , $\frac{BQ}{BD}=\frac{BF}{AD+BF}=\frac25.$

Por lo tanto $BP=\frac14BD$ , $PQ=\left(\frac25-\frac14\right)BD=\frac3{20}BD$ , y $QD=\frac35BD$ . Así $\begin{aligned} BP:PQ:QD &= \frac14:\frac3{20}:\frac35 \\ &= 5:3:12. \end{aligned}$ La suma es $5+3+12=20$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $BC=3$ and $BE=EF=FC$ , we have $BE=1$ and $BF=2$ . Also $AD=3$ .

From $\triangle APD\sim\triangle EPB$ , $\frac{BP}{BD}=\frac{BE}{AD+BE}=\frac14.$ From $\triangle AQD\sim\triangle FQB$ , $\frac{BQ}{BD}=\frac{BF}{AD+BF}=\frac25.$

Therefore $BP=\frac14BD$ , $PQ=\left(\frac25-\frac14\right)BD=\frac3{20}BD$ , and $QD=\frac35BD$ . Thus $\begin{aligned} BP:PQ:QD &= \frac14:\frac3{20}:\frac35 \\ &= 5:3:12. \end{aligned}$ The sum is $5+3+12=20$ .

Thus, the correct answer is E.

2016 AMC 10A Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años