Question

Joey y Chloe y su hija Zoe cumplen años el mismo día. Joey es $1$ año mayor que Chloe, y Zoe tiene hoy exactamente $1$ año. Hoy es el primero de los $9$ cumpleaños en los que la edad de Chloe será un múltiplo entero de la edad de Zoe. ¿Cuál será la suma de los dos dígitos de la edad de Joey la próxima vez que su edad sea un múltiplo de la de Zoe?

Joey and Chloe and their daughter Zoe all have the same birthday. Joey is $1$ year older than Chloe, and Zoe is exactly $1$ year old today. Today is the first of the $9$ birthdays on which Chloe's age will be an integral multiple of Zoe's age. What will be the sum of the two digits of Joey's age the next time his age is a multiple of Zoe's age?

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Solución:

Sea $n$ la edad de Chloe hoy; Zoe tiene $1.$ En $t$ años, su edad respecto a la de Zoe es $\frac{n + t}{1 + t} = 1 + \frac{n - 1}{1 + t},$ que es un entero exactamente cuando $1 + t$ divide a $n - 1.$ Así, el número de tales cumpleaños es el número de divisores de $n - 1.$ Que haya nueve significa que $n - 1$ tiene $9$ divisores, lo que obliga a $n - 1 = 2^2 \cdot 3^2 = 36$ (la única opción de dos dígitos). Así, Chloe tiene $37$ y Joey tiene $38.$ Ahora, la edad de Joey $38 + t$ es un múltiplo de $1 + t$ si y solo si $1 + t$ divide a $37.$ La próxima vez que ocurre es en $t = 36,$ cuando Joey tiene $74.$ Su suma de dígitos es $7 + 4 = 11.$ Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let Chloe be $n$ today; Zoe is $1.$ In $t$ years her age over Zoe's is $\frac{n + t}{1 + t} = 1 + \frac{n - 1}{1 + t},$ an integer exactly when $1 + t$ divides $n - 1.$ So the number of such birthdays is the number of divisors of $n - 1.$ Nine of them means $n - 1$ has $9$ divisors, forcing $n - 1 = 2^2 \cdot 3^2 = 36$ (the only two-digit choice). So Chloe is $37$ and Joey is $38.$ Now Joey's age $38 + t$ is a multiple of $1 + t$ iff $1 + t$ divides $37.$ The next such time is $t = 36,$ when Joey is $74.$ Its digit sum is $7 + 4 = 11.$ Thus, E is the correct answer.

2018 AMC 10B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años