Solución:

Como solo nos importa el dígito de las unidades, podemos convertir el conjunto $$\{11,13,15,17,19\}$$ en $$\{1,3,5,7,9\}.$$ Luego podemos analizar por casos según el valor de $m.$

Cuando $m = 1$:

Cualquier valor de $n$ funciona. Esto ocurre con probabilidad $\frac{1}{5}$.

Cuando $m = 3$:

Observando las potencias de $3,$ vemos que esta secuencia de dígitos de las unidades se repite: $$3, 9, 7, 1, \ldots$$

Esto significa que $n$ debe ser múltiplo de $4.$ Hay $5$ valores así. Esto significa que $n$ funciona $\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ de las veces. La probabilidad total es $$\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{20}.$$

Cuando $m = 5$:

Las potencias de $5$ siempre terminan en $5,$ lo que significa que este caso nunca funciona.

Cuando $m = 7$:

Los dígitos de las unidades se repiten con este patrón: $$7, 9, 3, 1,\ldots$$ Esto significa que $n$ debe ser múltiplo de $4$ para funcionar. Como cuando $m = 3,$ este caso funciona con probabilidad $\frac{1}{20}.$

Cuando $m = 9$:

El dígito de las unidades alterna entre $1$ y $9.$ Esto significa que $n$ debe ser par. Esto ocurre con probabilidad $\frac{1}{2}$. La probabilidad total es entonces $$\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{10}.$$

Por lo tanto, la probabilidad total es $$\dfrac{1}{5} + 2 \cdot \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{2}{5}.$$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.