Question

El segmento formado por $A(1, 2)$ y $B(3, 3)$ se rota hasta el segmento formado por $A'(3, 1)$ y $B'(4, 3)$ alrededor del punto $P(r, s).$ ¿Cuánto vale $|r - s|$ ?

The line segment formed by $A(1, 2)$ and $B(3, 3)$ is rotated to the line segment formed by $A'(3, 1)$ and $B'(4, 3)$ about the point $P(r, s).$ What is $|r - s|?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{2}{3}$

$1$

Solución:

Una rotación mantiene su centro equidistante de cada punto y su imagen. Así que $P$ es equidistante de $A$ y $A',$ y de $B$ y $B',$ lo que lo sitúa en la intersección de dos mediatrices. La mediatriz de $BB'$ de $(3,3)$ a $(4,3)$ es $x = 3.5.$ La mediatriz de $AA'$ de $(1,2)$ a $(3,1)$ es $2x - y = 2.5.$ Entonces $y = 2(3.5) - 2.5 = 4.5,$ así que $P = (3.5, 4.5)$ y $|r - s| = |3.5 - 4.5| = 1.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

A rotation keeps its center equidistant from each point and its image. So $P$ is equidistant from $A$ and $A',$ and from $B$ and $B',$ which puts it at the intersection of two perpendicular bisectors. The bisector of $BB'$ from $(3,3)$ to $(4,3)$ is $x = 3.5.$ The bisector of $AA'$ from $(1,2)$ to $(3,1)$ is $2x - y = 2.5.$ Then $y = 2(3.5) - 2.5 = 4.5,$ so $P = (3.5, 4.5)$ and $|r - s| = |3.5 - 4.5| = 1.$ Thus, E is the correct answer.

2023 AMC 10A Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años