Question

El segmento formado por

A(1, 2)

y

B(3, 3)

se rota hasta el segmento formado por

A'(3, 1)

y

B'(4, 3)

alrededor del punto

P(r, s).

¿Cuánto vale

|r - s|

?

The line segment formed by

A(1, 2)

and

B(3, 3)

is rotated to the line segment formed by

A'(3, 1)

and

B'(4, 3)

about the point

P(r, s).

What is

|r - s|?

\dfrac{1}{4}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{3}{4}

\dfrac{2}{3}

1

Respuesta: E

Conceptos:transformación mediatriz geometría analítica

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

El centro de rotación es equidistante de cada punto y su imagen, así que está en las mediatrices de

AA'

y

BB'

The rotation center is equidistant from each point and its image, so it lies on the perpendicular bisectors of

AA'

and

BB'

Pista grande:

Interseca la mediatriz de

BB'

(una recta vertical) con la de

AA'

Intersect the perpendicular bisector of

BB'

(a vertical line) with that of

AA'

Solución:

Una rotación mantiene su centro equidistante de cada punto y su imagen. Así que

P

es equidistante de

A

y

A',

y de

B

y

B',

lo que lo sitúa en la intersección de dos mediatrices. La mediatriz de

BB'

de

(3,3)

a

(4,3)

es

x = 3.5.

La mediatriz de

AA'

de

(1,2)

a

(3,1)

es

2x - y = 2.5.

Entonces

y = 2(3.5) - 2.5 = 4.5,

así que

P = (3.5, 4.5)

y

|r - s| = |3.5 - 4.5| = 1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

A rotation keeps its center equidistant from each point and its image. So

P

is equidistant from

A

and

A',

and from

B

and

B',

which puts it at the intersection of two perpendicular bisectors. The bisector of

BB'

from

(3,3)

to

(4,3)

is

x = 3.5.

The bisector of

AA'

from

(1,2)

to

(3,1)

is

2x - y = 2.5.

Then

y = 2(3.5) - 2.5 = 4.5,

so

P = (3.5, 4.5)

and

|r - s| = |3.5 - 4.5| = 1.

Thus, E is the correct answer.

2023 AMC 10A Problema 19

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años