Question

Define $L_n$ como el mínimo común múltiplo de todos los enteros desde $1$ hasta $n$ inclusive. Existe un único entero $h$ tal que $\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{17} = \dfrac{h}{L_{17}}$ ¿Cuál es el residuo cuando $h$ se divide entre $17$ ?

Define $L_n$ as the least common multiple of all the integers from $1$ to $n$ inclusive. There is a unique integer $h$ such that $\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{17} = \dfrac{h}{L_{17}}$ What is the remainder when $h$ is divided by $17?$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Solución:

Multiplicando la suma armónica por $L_{17}$ , obtenemos $h=\sum_{i=1}^{17}\frac{L_{17}}{i}.$

Para $1\le i\le16$ , el término $\frac{L_{17}}{i}$ sigue siendo divisible entre $17$ , así que estos términos contribuyen $0\pmod{17}$ .

Por lo tanto $h\equiv \frac{L_{17}}{17}\pmod{17}.$ El mínimo común múltiplo $L_{17}$ contiene los factores de potencia prima $16,9,5,7,11,13,17$ , así que $\begin{aligned} \frac{L_{17}}{17} &\equiv 16\cdot9\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13 \\ &\pmod{17}. \end{aligned}$

Reduciendo módulo $17$ , esto es $(-1)\cdot9\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13$ $\equiv5\pmod{17}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Multiplying the harmonic sum by $L_{17}$ , we get $h=\sum_{i=1}^{17}\frac{L_{17}}{i}.$

For $1\le i\le16$ , the term $\frac{L_{17}}{i}$ is still divisible by $17$ , so these terms contribute $0\pmod{17}$ .

Thus $h\equiv \frac{L_{17}}{17}\pmod{17}.$ The least common multiple $L_{17}$ contains the prime-power factors $16,9,5,7,11,13,17$ , so $\begin{aligned} \frac{L_{17}}{17} &\equiv 16\cdot9\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13 \\ &\pmod{17}. \end{aligned}$

Reducing modulo $17$ , this is $(-1)\cdot9\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13$ $\equiv5\pmod{17}.$

Thus, C is the correct answer.

2022 AMC 10A Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años