Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

2022 AMC 10A Problema 19

Intenta el Problema 19 del 2022 AMC 10A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2022 AMC 10A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

19.

Sea LnL_n el mínimo común múltiplo de los números 1,1, 2,2, 3,3, …,\ldots, n,n, y sea hh el único entero positivo tal que 11+12+13+⋯+117=hL17\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{17} = \dfrac{h}{L_{17}} ¿Cuál es el residuo cuando hh se divide entre 1717?
Let LnL_n denote the least common multiple of the numbers 1,1, 2,2, 3,3, …,\ldots, n,n, and let hh be the unique positive integer such that 11+12+13+⋯+117=hL17\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{17} = \dfrac{h}{L_{17}} What is the remainder when hh is divided by 17?17?
11
33
55
77
99
Respuesta: C
Conceptos:aritmética modularmínimo común múltiplofactorización en primos
Nivel de dificultad: 2150
Pista pequeña:
Trabaja módulo 1717 después de multiplicar por el mínimo común múltiplo.
Work modulo 1717 after multiplying by the least common multiple
Pista grande:
Todos los términos salvo el que proviene de 117\frac{1}{17} se anulan módulo 1717.
All terms except the one from 117\frac{1}{17} vanish modulo 1717
Solución:
Multiplicando la suma armónica por L17,L_{17}, obtenemos h=∑i=117L17i.h=\sum_{i=1}^{17}\frac{L_{17}}{i}.
Para 1≤i≤16,1\le i\le16, el término L17i\frac{L_{17}}{i} sigue siendo divisible entre 17,17, así que estos términos contribuyen 0(mod17).0\pmod{17}.
Por lo tanto h≡L1717(mod17).h\equiv \frac{L_{17}}{17}\pmod{17}. El mínimo común múltiplo L17L_{17} contiene los factores de potencia prima 16,9,5,7,11,13,17,16,9,5,7,11,13,17, así que L1717≡16⋅9⋅5⋅7⋅11⋅13(mod17). \begin{aligned} \frac{L_{17}}{17} &\equiv 16\cdot9\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13 \\ &\pmod{17}. \end{aligned}
Reduciendo módulo 17,17, esto es (−1)⋅9⋅5⋅7⋅11⋅13(-1)\cdot9\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13 ≡5(mod17).\equiv5\pmod{17}.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
Multiplying the harmonic sum by L17,L_{17}, we get h=∑i=117L17i.h=\sum_{i=1}^{17}\frac{L_{17}}{i}.
For 1≤i≤16,1\le i\le16, the term L17i\frac{L_{17}}{i} is still divisible by 17,17, so these terms contribute 0(mod17).0\pmod{17}.
Thus h≡L1717(mod17).h\equiv \frac{L_{17}}{17}\pmod{17}. The least common multiple L17L_{17} contains the prime-power factors 16,9,5,7,11,13,17,16,9,5,7,11,13,17, so L1717≡16⋅9⋅5⋅7⋅11⋅13(mod17). \begin{aligned} \frac{L_{17}}{17} &\equiv 16\cdot9\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13 \\ &\pmod{17}. \end{aligned}
Reducing modulo 17,17, this is (−1)⋅9⋅5⋅7⋅11⋅13(-1)\cdot9\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13 ≡5(mod17).\equiv5\pmod{17}.
Thus, C is the correct answer.
Problema 18#18
Examen completo
Problema 20#20

El Problema 19 en otros años

2000 AMC 10 · 2001 AMC 10 · 2002 AMC 10A · 2002 AMC 10B · 2003 AMC 10A · 2003 AMC 10B · 2004 AMC 10A · 2004 AMC 10B · 2005 AMC 10A · 2005 AMC 10B · 2006 AMC 10A · 2006 AMC 10B · 2007 AMC 10A · 2007 AMC 10B · 2008 AMC 10A · 2008 AMC 10B · 2009 AMC 10A · 2009 AMC 10B · 2010 AMC 10A · 2010 AMC 10B · 2011 AMC 10A · 2011 AMC 10B · 2012 AMC 10A · 2012 AMC 10B · 2013 AMC 10A · 2013 AMC 10B · 2014 AMC 10A · 2014 AMC 10B · 2015 AMC 10A · 2015 AMC 10B · 2016 AMC 10A · 2016 AMC 10B · 2017 AMC 10A · 2017 AMC 10B · 2018 AMC 10A · 2018 AMC 10B · 2019 AMC 10A · 2019 AMC 10B · 2020 AMC 10A · 2020 AMC 10B · 2021 AMC 10A Spring · 2021 AMC 10B Spring · 2021 AMC 10A Fall · 2021 AMC 10B Fall · 2022 AMC 10B · 2023 AMC 10A · 2023 AMC 10B · 2024 AMC 10A · 2024 AMC 10B · 2025 AMC 10A · 2025 AMC 10B