Question

Dos circunferencias concéntricas tienen radios $1$ y $2.$ Se eligen dos puntos sobre la circunferencia exterior de manera independiente y uniforme al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la cuerda que une los dos puntos corte la circunferencia interior?

Two concentric circles have radii $1$ and $2.$ Two points on the outer circle are chosen independently and uniformly at random. What is the probability that the chord joining the two points intersects the inner circle?

$\ \dfrac{1}{6}$

$\ \dfrac{1}{4}$

$\ \dfrac{2-\sqrt{2}}{2}$

$\ \dfrac{1}{3}$

$\ \dfrac{1}{2}$

Solución:

Primero, sin pérdida de generalidad, podemos elegir algún punto sobre la circunferencia exterior. Entonces, el segundo punto se puede elegir dentro de una región de la misma circunferencia.

Esta región es tal que tiene una recta que corta la circunferencia, así que el borde de la región es donde la cuerda es tangente a la circunferencia interior.

Si observamos el ángulo en el centro, vemos que hay 2 triángulos rectángulos donde el cateto adyacente es $1$ y la hipotenusa es $2,$ lo que da $\cos \left(\dfrac \theta 2\right) = \dfrac 12.$

Así, $\dfrac \theta 2 = 60^\circ,$ de donde $\theta = 120 ^\circ .$

Por lo tanto, la probabilidad es $\dfrac {120^\circ}{360^\circ} = \dfrac 13 .$

Así, la respuesta correcta es D.

First, without loss of generality, we could choose some point on the outer circle. Then, the second point can be chosen in a region on the other circle.

This region is such that it has a line that intersects the circle, so the edge of the region is such that the chord is perpendicular with the inner circle.

If we look at the angle at the center, we can see that it has 2 right triangles where the adjacent side is $1$ and the hypotenuse is $2,$ making $\cos \left(\dfrac \theta 2\right) = \dfrac 12.$

Thus, $\dfrac \theta 2 = 60^\circ,$ making $\theta = 120 ^\circ .$

Therefore, the probability is $\dfrac {120^\circ}{360^\circ} = \dfrac 13 .$

Thus, the correct answer is D .

2014 AMC 10B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años