Question

¿Para cuántos enteros $x$ el número $x^4-51x^2+50$ es negativo?

For how many integers $x$ is the number $x^4-51x^2+50$ negative?

$8$

$10$

$12$

$14$

$16$

Primero, nota que $x^4-51x^2+50$ $= (x^2-50)(x^2-1).$

Si $(x^2-50)(x^2-1) < 0$ , esto significa que uno de los términos es negativo. Como $x^2-50 < x^2-1,$ debe cumplirse que $x^2-50 < 0, x^2-1 > 0.$

Esto equivale a $1 < x^2 < 50,$ es decir $1< |x| \leq 7,$ resultando en $12$ soluciones enteras.

Así, la respuesta correcta es C.

First, note that $x^4-51x^2+50$ $= (x^2-50)(x^2-1).$

If $(x^2-50)(x^2-1) < 0$ means that one of the terms is negative.

Since $x^2-50 < x^2-1,$ it must be that $x^2-50 < 0, x^2-1 > 0.$ This means $1 < x^2 < 50,$ making $1< |x| \leq 7,$ resulting in $12$ solutions.

Thus, the correct answer is C .