Question

El trapecio $ABCD$ tiene lados paralelos $\overline{AB}$ de longitud $33$ y $\overline {CD}$ de longitud $21 .$ Los otros dos lados tienen longitudes $10$ y $14 .$ Los ángulos $A$ y $B$ son agudos. ¿Cuál es la longitud de la diagonal más corta de $ABCD$ ?

Trapezoid $ABCD$ has parallel sides $\overline{AB}$ of length $33$ and $\overline {CD}$ of length $21 .$ The other two sides are of lengths $10$ and $14 .$ The angles $A$ and $B$ are acute. What is the length of the shorter diagonal of $ABCD ?$

$10\sqrt{6}$

$25$

$8\sqrt{10}$

$18\sqrt{2}$

$26$

Solución:

Sean $E$ y $F,$ respectivamente, los pies de las perpendiculares desde $C$ y $D$ hasta $AB$ . Sin pérdida de generalidad, sea $BC=10$ ; intercambiar los dos lados no paralelos solo refleja el trapecio. Esto da el siguiente diagrama:

Sea $FB = x$ y sea la altura $h.$ Esto significa que $\begin{align*}AE &= 33-x-EF\\&=33-x-21 \\&= 12-x.\end{align*}$

Esto sugiere que $14^2 = (12-x)^2 + h^2$ $10^2 = x^2 + h^2.$ Restando las ecuaciones, obtenemos $96 = 144 - 24x$ $x = 2.$ Luego, queremos hallar $\sqrt{ (21+x)^2+h^2}$ $= \sqrt{21^2 + 42x + (x^2 + h^2) }$ $= \sqrt{441+42\cdot 2 + 100}$ $= \sqrt{625}$ $=25.$

Así, la respuesta correcta es B.

Let the feet of the perpendiculars from $C$ and $D$ to $AB$ be $E$ and $F,$ respectively. Without loss of generality, let $BC=10$ ; interchanging the two legs only reflects the trapezoid. This yields the following diagram:

Then, let $FB = x$ and the altitude be $h.$ This means $\begin{align*}AE &= 33-x-EF\\&=33-x-21 \\&= 12-x.\end{align*}$

This suggests that: $14^2 = (12-x)^2 + h^2$ $10^2 = x^2 + h^2.$ Subtracting the equations, we get: $96 = 144 - 24x$ $x = 2.$ Then, we want to find $\sqrt{ (21+x)^2+h^2}$ $= \sqrt{21^2 + 42x + (x^2 + h^2) }$ $= \sqrt{441+42\cdot 2 + 100}$ $= \sqrt{625}$ $=25.$

Thus, the correct answer is B .

2014 AMC 10B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años