Question

Un tazón se forma uniendo cuatro hexágonos regulares de lado $1$ a un cuadrado de lado $1.$ Las aristas de los hexágonos adyacentes coinciden, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área del octágono que se obtiene al unir los ocho vértices superiores de los cuatro hexágonos, situados en el borde del tazón?

A bowl is formed by attaching four regular hexagons of side $1$ to a square of side $1.$ The edges of the adjacent hexagons coincide, as shown in the figure. What is the area of the octagon obtained by joining the top eight vertices of the four hexagons, situated on the rim of the bowl?

$6$

$7$

$5 + 2 \sqrt{2}$

$8$

$9$

Solución:

Podemos extender los segmentos $l, m,$ y $n$ como sigue.

Son concurrentes, ya que $l$ y $m$ se cortan y $l$ y $n$ se cortan (están en el mismo plano). Como $l$ corta el plano de $m$ y $n$ solo una vez, debe cortarlos a ambos en ese único punto.

Las líneas rojas discontinuas crean triángulos equiláteros en las caras laterales del tazón, todos con lado de longitud $1.$ En el plano superior, sabemos que $m \perp n,$ así que las líneas rojas discontinuas crean un triángulo rectángulo isósceles con cateto de longitud $1.$

El octágono se ve como el diagrama de abajo.

El área del octágono es el área del cuadrado menos cada uno de los cuatro triángulos en las esquinas. Esto es igual a $3^2 - 4(\dfrac{1}{2} \cdot 1^2) = 7.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We can extend line segments $l, m,$ and $n$ as follows.

They are concurrent since $l$ and $m$ intersect and $l$ and $n$ intersect (they are on the same plane). Since $l$ only intersects the plane of $m$ and $n$ once, it must intersect them both at that one point.

The dashed red lines create equilateral triangles on the lateral faces of the bowl, which all have side length $1.$ In the top plane, we know that $m \perp n,$ so the dashed red lines create an isosceles right triangle with leg length $1.$

The octagon looks like the diagram below.

The area of the octagon is the area of the square minus each of the four corner triangles. This is equal to $3^2 - 4(\dfrac{1}{2} \cdot 1^2) = 7.$

Thus, B is the correct answer.

2022 AMC 10A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años